MILETUS FORTÆLLINGER TEOREM: FØRSTE, ANDEN OG EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

Den første og anden sætning af Thales of Miletus er baseret på bestemmelse af trekanter fra lignende (første sætning) eller fra cirkler (anden sætning). De har været meget nyttige på forskellige områder. For eksempel var den første sætning meget nyttig til måling af store strukturer, når der ikke var sofistikerede måleinstrumenter.

Thales of Miletus var en græsk matematiker, der leverede store bidrag til geometri, hvoraf disse to sætninger skiller sig ud (i nogle tekster er han også skrevet som Thales) og deres anvendelige anvendelser. Disse resultater er blevet brugt gennem historien og har gjort det muligt at løse en lang række geometriske problemer.

Thales of Miletus

Thales 'første sætning

Thales 'første sætning er et meget nyttigt værktøj, der blandt andet tillader konstruktion af en trekant, der ligner en anden, tidligere kendt. Herfra er forskellige versioner af teoremet afledt, der kan anvendes i flere sammenhænge.

Inden vi afgiver din erklæring, lad os huske nogle forestillinger om lighed med trekanter. I det væsentlige er to trekanter ens, hvis deres vinkler er kongruente (de har samme mål). Dette resulterer i det faktum, at hvis to trekanter er ens, er deres tilsvarende (eller homologe) sider proportionelle.

Thales 'første sætning siger, at hvis en linje tegnes parallelt med nogen af ​​dens sider i en given trekant, vil den nye trekant, der er opnået, svare til den oprindelige trekant.

Der opnås også et forhold mellem de dannede vinkler, som vist i den følgende figur.

Ansøgning

Blandt dens mange anvendelser skelner en af ​​særlig interesse ud og har at gøre med en af ​​måderne, hvorpå målinger af store strukturer blev foretaget i Antikken, en tid, hvor Thales boede, og hvor der ikke var nogen moderne måleinstrumenter, som de findes nu.

Det siges, at det er sådan, Thales formåede at måle den højeste pyramide i Egypten, Cheops. Til dette antog Thales, at reflektionerne fra solstrålene berørte jorden og dannede parallelle linjer. Under denne antagelse spikede han en pind eller en stok lodret ned i jorden.

Han brugte derefter ligheden mellem de to resulterende trekanter, den ene dannet af længden af ​​skyggen af ​​pyramiden (som let kan beregnes) og højden på pyramiden (den ukendte), og den anden dannet af længden af ​​skyggen og stangens højde (som også let kan beregnes).

Ved hjælp af proportionaliteten mellem disse længder kan pyramidens højde løses og kendes.

Selvom denne målemetode kan give en betydelig tilnærmelsesfejl med hensyn til nøjagtigheden af ​​højden og afhænger af parallelismen i solstrålene (som igen afhænger af et præcist tidspunkt), skal det erkendes, at det er en meget genial idé og at det var et godt målealternativ for tiden.

eksempler

Find værdien af ​​x i hvert tilfælde:

Thales 'andet sætning

Den anden sætning af Thales bestemmer en højre trekant indskrevet i en cirkel på hvert punkt af det samme.

En trekant, der er indskrevet på en omkreds, er en trekant, hvis knudepunkter er på omkredsen, hvilket således forbliver indeholdt i den.

Specifikt angiver Thales 'andet sætning følgende: givet en cirkel med centrum O og diameter AC bestemmer hvert punkt B på omkredsen (bortset fra A og C) en højre trekant ABC med ret vinkel

Som begrundelse skal vi bemærke, at både OA og OB og OC svarer til omkredsens radius; derfor er deres målinger de samme. Herfra følger det, at trekanterne OAB og OCB er ensartede, hvor

Det vides, at summen af ​​vinklerne i en trekant er lig med 180º. Ved hjælp af dette med trekant ABC har vi:

2b + 2a = 180º.

Ligeledes har vi, at b + a = 90º og b + a =

Bemærk, at den højre trekant, der leveres af Thales 'anden sætning, netop er den, hvis hypotenuse er lig med diameteren af ​​omkredsen. Derfor bestemmes det fuldstændigt af halvcirklen, der indeholder punkterne i trekanten; i dette tilfælde den øvre halvcirkel.

Lad os også bemærke, at i den højre trekant opnået ved hjælp af Thales 'anden teorem, er hypotenusen opdelt i to lige store dele af OA og OC (radius). Til gengæld er denne måling lig med segmentet OB (også radien), der svarer til medianen af ​​trekanten ABC med B.

Med andre ord bestemmes længden af ​​medianen i den højre trekant ABC svarende til toppunkt B fuldstændigt af halve hypotenusen. Husk, at medianen af ​​en trekant er segmentet fra en af ​​toppunktene til midtpunktet på den modsatte side; i dette tilfælde BO-segmentet.

Omskrevet omkrets

En anden måde at se Thales 'anden sætning på er gennem en omkreds omskrevet til en højre trekant.

Generelt består en omkreds, der er omskrevet til en polygon, af omkredsen, der passerer gennem hver af dets vertikater, når det er muligt at tegne det.

Ved hjælp af Thales 'andet teorem, givet en højre trekant, kan vi altid konstruere en omkreds, der er omskrevet til det, med en radius lig med halve hypotenusen og et circumcenter (centrum af omkredsen) lig med midtpunktet på hypotenusen.

Ansøgning

En meget vigtig anvendelse af Thales 'anden teorem, og måske den mest anvendte, er at finde tangentlinierne til en given cirkel gennem et punkt P, der er eksternt til det (kendt).

Bemærk, at hvis der gives en cirkel (tegnet i blåt i figuren nedenfor) og et udvendigt punkt P, er der to linjer tangent til cirklen, der passerer gennem P. Lad T og T 'være tangens punkter, r cirkelens radius, og Eller centrum.

Det vides, at segmentet, der går fra midten af ​​en cirkel til et punkt på tangensen af ​​det samme, er vinkelret på denne tangentlinie. Så vinklen OTP er rigtig.

Fra det, vi så tidligere i Thales 'første sætning og dens forskellige versioner, ser vi, at det er muligt at indskrive OTP-trekanten i en anden cirkel (i rødt).

Tilsvarende opnås det, at trekanten OT'P kan indskrives inden for den samme forudgående omkreds.

Ved Thales 'andet sætning opnår vi også, at diameteren af ​​denne nye omkreds netop er hypotenusen for trekanten OTP (som er lig med hypotenusen til trekanten OT'P), og midten er midtpunktet for denne hypotenuse.

For at beregne midten af ​​den nye omkreds, er det nok at beregne midtpunktet mellem midten - sig for eksempel M - for den indledende omkreds (som vi allerede kender) og punktet P (som vi også kender). Så vil radius være afstanden mellem dette punkt M og P.

Med radius og midten af ​​den røde cirkel kan vi finde dens kartesiske ligning, som vi husker er givet af (xh) ² + (yk) ² = c ², hvor c er radius og punktet (h, k) er centrum af omkredsen.

Når vi kender ligningerne fra begge cirkler, kan vi krydse dem ved at løse det system af ligninger, der er dannet af dem, og således opnå punkterne tangens T og T '. Til slut, for at kende de ønskede tangentlinier, er det nok at finde ligningen på linjerne, der passerer gennem T og P, og gennem T 'og P.

Eksempel

Overvej en omkreds med diameter AC, center O og radius 1 cm. Lad B være et punkt på omkredsen, således at AB = AC. Hvor høj er AB?

Løsning

Ved Thales 'andet sætning har vi, at trekanten ABC er ret, og hypotenusen svarer til diameteren, som i dette tilfælde måler 2 cm (radiusen er 1 cm). Derefter har vi ved hjælp af Pythagorean-sætningen:

Referencer

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometri og trigonometri. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Uddannelse.
3. Gutiérrez, Á. TIL. (2004). Metodik og anvendelser af matematik i ESO Uddannelsesministeriet.
4. Iger. (2014). Matematik Andet semester Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Matematik 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Trigonometri og analytisk geometri. Pearson Uddannelse.
7. Pérez, MA (2009). En historie med matematik: udfordringer og erobringer gennem dens karakterer. Redaktionelle visioner
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Plananalytisk geometri. Redaktionel Venezolana CA