- Kombinationsnumre
- Demonstration
- eksempler
- Identitet 1
- Identitet 2
- En anden demonstration
- Induktionsbevis
- Kuriositeter
- Referencer
Den binomiale teorem er en ligning, der fortæller os, hvordan man kan udvikle et udtryk af formen (a + b) n for nogle naturligt tal n. En binomial er intet mere end summen af to elementer, som (a + b). Det tillader os også at vide for et udtryk givet af en k b n-k, hvad der er koefficienten, der ledsager den.
Denne sætning tilskrives almindeligvis den engelske opfinder, fysiker og matematiker Sir Isaac Newton; Der er dog fundet forskellige optegnelser, der tyder på, at dens eksistens allerede var kendt i Mellemøsten omkring år 1000.
Kombinationsnumre
Binomial-sætningen fortæller os matematisk følgende:
I dette udtryk er a og b reelle tal, og n er et naturligt tal.
Inden vi giver demo, lad os se på nogle grundlæggende koncepter, der er nødvendige.
Kombinationsnummeret eller kombinationerne af n i k udtrykkes som følger:
Denne form udtrykker værdien af, hvor mange delmængder med k-elementer, der kan vælges fra et sæt n-elementer. Dets algebraiske udtryk er givet af:
Lad os se et eksempel: Antag, at vi har en gruppe på syv bolde, hvoraf to er røde, og resten er blå.
Vi vil gerne vide, hvor mange måder vi kan arrangere dem på række. En måde kunne være at placere de to røde i første og anden position, og resten af bolde i de resterende positioner.
I lighed med det foregående tilfælde kunne vi give de røde kugler henholdsvis den første og den sidste position og besætte de andre med blå kugler.
En effektiv måde at tælle hvor mange måder vi kan arrangere kuglerne på i række er nu ved at bruge kombinatoriske numre. Vi kan se hver position som et element i følgende sæt:
Derefter gjenstår det kun at vælge en undergruppe af to elementer, hvor hvert af disse elementer repræsenterer den position, som de røde kugler vil indtage. Vi kan træffe dette valg i henhold til forholdet givet af:
På denne måde har vi, at der er 21 måder at bestille disse bolde på.
Den generelle idé til dette eksempel vil være meget nyttigt til at bevise binomial sætning. Lad os se på et bestemt tilfælde: hvis n = 4, har vi (a + b) 4, hvilket ikke er andet end:
Når vi udvikler dette produkt, står vi tilbage med summen af de opnåede udtryk ved at multiplicere et element af hver af de fire faktorer (a + b). Således vil vi have udtryk, der vil være af formen:
Hvis vi ønskede at få udtrykket i formen en 4, er vi bare nødt til at formere sig som følger:
Bemærk, at der kun er en måde at få dette element på; men hvad sker der, hvis vi nu ser for udtrykket af formen a 2 b 2 ? Da "a" og "b" er reelle tal, og derfor gælder den kommutative lov, har vi den ene måde at opnå dette udtryk på er at formere sig med medlemmerne som angivet med pilene.
Udførelse af alle disse operationer er normalt noget kedelig, men hvis vi ser udtrykket "a" som en kombination, hvor vi vil vide, hvor mange måder vi kan vælge to "a" fra et sæt på fire faktorer, kan vi bruge ideen fra det forrige eksempel. Så vi har følgende:
Således ved vi, at i den sidste udvidelse af udtrykket (a + b) 4 vi vil have præcis 6a 2 B 2. Brug af den samme idé til de andre elementer, skal du:
Så tilføjer vi de tidligere opnåede udtryk, og vi har det:
Dette er et formelt bevis for den generelle sag, hvor "n" er et hvilket som helst naturligt tal.
Demonstration
Bemærk, at udtrykkene efterladt af ekspanderende (a + b) n er af formen en k b n-k, hvor k = 0,1,…, n. Ved hjælp af ideen til det foregående eksempel har vi måden at vælge «k» -variabler «a» af «n» -faktorerne er:
Ved at vælge på denne måde vælger vi automatisk nk-variabler "b". Heraf følger, at:
eksempler
I betragtning af (a + b) 5, hvad ville dens udvikling være?
Ved det binomiale teorem har vi:
Binomial-sætningen er meget nyttig, hvis vi har et udtryk, hvor vi ønsker at vide, hvad koefficienten for et specifikt udtryk er uden at skulle udføre den fulde udvidelse. Som et eksempel kan vi tage følgende ukendt: hvad er koefficienten x 7 og 9 i udvidelsen af (x + y) 16 ?
Ved det binomiale teorem har vi, at koefficienten er:
Et andet eksempel ville være: hvad er koefficienten x 5 og 8 i udvidelsen af (3x-7y) 13 ?
Først omskriver vi udtrykket på en bekvem måde; dette er:
Derefter ved hjælp af den binomiale teorem har vi, at den efterspurgte koefficient er, når vi har k = 5
Et andet eksempel på anvendelsen af dette teorem er beviset for nogle almindelige identiteter, såsom dem, som vi nævner næste.
Identitet 1
Hvis «n» er et naturligt tal, har vi:
Til beviset bruger vi den binomielle teorem, hvor både «a» og «b» tager værdien af 1. Så har vi:
På denne måde har vi bevist den første identitet.
Identitet 2
Hvis "n" er et naturligt tal, så
Ved det binomiale teorem har vi:
En anden demonstration
Vi kan fremlægge et andet bevis for den binomiale teorem ved hjælp af den induktive metode og Pascal's identitet, der fortæller os, at hvis «n» og «k» er positive heltal, der tilfredsstiller n ≥ k, så:
Induktionsbevis
Lad os først se, at den induktive base holder. Hvis n = 1, har vi:
Vi ser faktisk, at det er opfyldt. Lad nu n = j sådan:
Vi vil se, at for n = j + 1 er det sandt, at:
Så vi er nødt til at:
Ved hypotese ved vi, at:
Brug derefter den distribuerende egenskab:
Efterfølgende har vi udviklet hver af summationerne:
Hvis vi nu grupperer på en praktisk måde, har vi det:
Ved hjælp af pascals identitet har vi:
Til sidst skal du bemærke, at:
Derfor ser vi, at den binomiale teorem gælder for alle "n", der hører til de naturlige tal, og med dette ender beviset.
Kuriositeter
Kombinationsnummeret (nk) kaldes også den binomiale koefficient, fordi det netop er koefficienten, der vises i udviklingen af binomialen (a + b) n.
Isaac Newton gav en generalisering af dette teorem for den sag, hvor eksponenten er et reelt tal; Dette teorem er kendt som Newtons binomiale teorem.
Allerede i gamle tider var dette resultat kendt for det særlige tilfælde, hvor n = 2. Denne sag er nævnt i Euclids elementer.
Referencer
- Johnsonbaugh Richard. Diskret matematik. PHH
- Kenneth.H. Rosen, diskret matematik og dens applikationer. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Diskret matematik. McGraw-Hill.
- Ralph P. Grimaldi. Diskret og kombinatorisk matematik. Addison-Wesley Iberoamericana
- Green Star Luis.. Diskrete og kombinatoriske matematikantropos