For at vide, hvad kvadratroten af 3 er, er det vigtigt at kende definitionen af kvadratroten af et tal.
Givet et positivt tal "a", er kvadratroden af "a", betegnet med √a, et positivt tal "b", således at når "b" ganges med det, er resultatet "a".
Den matematiske definition siger: √a = b hvis, og kun hvis, b² = b * b = a.
For at vide, hvad kvadratroten af 3 er, det vil sige værdien af √3, skal et tal "b" findes således, at b² = b * b = √3.
Derudover er √3 et irrationelt antal, så det består af et uendeligt ikke-periodisk antal decimaler. Af denne grund er det vanskeligt at beregne kvadratroten af 3 manuelt.
Firkantet rod på 3
Hvis du bruger en lommeregner, kan du se, at kvadratroten af 3 er 1.73205080756887…
Nu kan du manuelt prøve at tilnærme dette nummer som følger:
-1 * 1 = 1 og 2 * 2 = 4, dette siger, at kvadratroten af 3 er et tal mellem 1 og 2.
-1,7 * 1,7 = 2,89 og 1,8 * 1,8 = 3,24, derfor er det første decimal 7.
-1,73 * 1,73 = 2,99 og 1,74 * 1,74 = 3,02, så det andet decimal er 3.
-1,732 * 1,732 = 2,99 og 1,733 * 1,733 = 3,003, derfor er det tredje decimal 2.
Og så videre kan du fortsætte. Dette er en manuel måde at beregne kvadratroten af 3.
Der er også andre meget mere avancerede teknikker, såsom Newton-Raphson-metoden, som er en numerisk metode til beregning af tilnærmelser.
Hvor kan vi finde tallet √3?
På grund af antallet er kompleks, kan det tænkes, at det ikke vises i hverdagens genstande, men dette er forkert. Hvis vi har en terning (firkantet kasse), så længden af siderne er 1, vil terningens kerner have et mål på √3.
For at kontrollere dette bruges Pythagorean Theorem, der siger: givet en højre trekant er kvadratets hypotenuse lig med summen af benens kvadrater (c² = a² + b²).
Ved at have en terning med side 1 har vi, at diagonalen i kvadratet på dens base er lig med summen af kvadraterne på benene, dvs. c² = 1² + 1² = 2, derfor måler diagonalen af basen √2.
For at beregne terningen af terningen kan følgende figur ses.
Den nye højre trekant har ben med længderne 1 og √2, derfor når vi bruger den Pythagoreanske sætning til at beregne længden af dens diagonal, får vi: C² = 1² + (√2) ² = 1 + 2 = 3, det vil sige sig, C = √3.
Således er længden af diagonalen i en terning med side 1 lig med √3.
√3 et irrationelt tal
I starten sagde det, at √3 er et irrationelt tal. For at kontrollere dette antages det af absurditeten, at det er et rationelt tal, som der er to tal "a" og "b", relative primes, således at a / b = √3.
Ved at kvadrere den sidste ligestilling og løse for "a²" opnås følgende ligning: a² = 3 * b². Dette siger, at "a²" er et multiplum af 3, hvilket fører til konklusionen, at "a" er et multiplum af 3.
Da "a" er et multiplum af 3, er der et heltal "k", således at a = 3 * k. Ved at udskifte i den anden ligning får vi derfor: (3 * k) ² = 9 * k² = 3 * b², hvilket er det samme som b² = 3 * k².
Som før fører denne sidste lighed til konklusionen om, at "b" er et multiplum af 3.
Afslutningsvis er "a" og "b" begge multipla af 3, hvilket er en modsigelse, da de oprindeligt blev antaget at være relative primes.
Derfor er √3 et irrationelt tal.
Referencer
- Bails, B. (1839). Arismatiske principper. Trykt af Ignacio Cumplido.
- Bernadet, JO (1843). Komplet elementær afhandling om lineær tegning med anvendelser til kunsten. José Matas.
- Herranz, DN og Quirós. (1818). Universal, ren, testamentarisk, kirkelig og kommerciel aritmetik. trykkeri, der var fra Fuentenebro.
- Preciado, CT (2005). Matematik Kursus 3. Redaktionel Progreso.
- Szecsei, D. (2006). Grundlæggende matematik og præ-algebra (illustreret red.). Karrierepress.
- Vallejo, JM (1824). Børns aritmetik… Imp. Det var fra García.