HVOR MANGE LØSNINGER HAR EN KVADRATISK LIGNING? - MATEMATIK - 2025

En kvadratisk ligning eller kvadratisk ligning kan have nul, en eller to reelle løsninger, afhængigt af koefficienterne, der vises i ligningen.

Hvis du arbejder på komplekse tal, kan du sige, at hver kvadratisk ligning har to løsninger.

Til at begynde med er en kvadratisk ligning en ligning med formen ax² + bx + c = 0, hvor a, b og c er reelle tal og x er en variabel.

Det siges, at x1 er en løsning af den forrige kvadratiske ligning, hvis erstatning af x med x1 tilfredsstiller ligningen, det vil sige, hvis a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Hvis vi for eksempel har ligningen x²-4x + 4 = 0, er x1 = 2 en løsning, da (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Tværtimod, hvis vi erstatter x2 = 0, får vi (0) ²-4 (0) + 4 = 4, og siden 4 ≠ 0, er x2 = 0 ikke en løsning af den kvadratiske ligning.

Løsninger af en kvadratisk ligning

Antallet af opløsninger i en kvadratisk ligning kan opdeles i to tilfælde, der er:

en.-

Når man arbejder med reelle tal, kan kvadratiske ligninger have:

Nulløsninger: det vil sige, der er ikke noget reelt tal, der tilfredsstiller den kvadratiske ligning. For eksempel, ligningen, der gives ligningen x² + 1 = 0, der er ikke et sådant reelt tal, der tilfredsstiller ligningen, da begge x² er større end eller lig med nul og 1 er strengt større end nul, så deres sum vil være større streng end nul.

-En gentagen løsning: der er en enkelt reel værdi, der tilfredsstiller den kvadratiske ligning. For eksempel er den eneste løsning på ligningen x²-4x + 4 = 0 x1 = 2.

-To forskellige løsninger: der er to værdier, der tilfredsstiller den kvadratiske ligning. For eksempel har x² + x-2 = 0 to forskellige løsninger, der er x1 = 1 og x2 = -2.

2.- I komplekse tal

Når man arbejder med komplekse tal, har kvadratiske ligninger altid to løsninger, der er z1 og z2, hvor z2 er konjugatet af z1. De kan også klassificeres i:

-Komplekser: opløsningerne har formen z = p ± qi, hvor p og q er reelle tal. Denne sag svarer til den første sag i den forrige liste.

-Pure Complexes: er når den reelle del af løsningen er lig med nul, det vil sige, at løsningen har formen z = ± qi, hvor q er et reelt tal. Denne sag svarer til den første sag i den forrige liste.

-Komplekser med en imaginær del lig med nul: det er når den komplekse del af løsningen er lig med nul, det vil sige, løsningen er et reelt tal. Denne sag svarer til de to sidste sager i den forrige liste.

Hvordan findes løsningerne i en kvadratisk ligning?

For at beregne opløsningerne i en kvadratisk ligning bruges en formel kendt som "opløsningen", der siger, at opløsningerne af en ligning aks² + bx + c = 0 er givet ved udtrykket i følgende billede:

Mængden, der vises inden i kvadratroten, kaldes den diskriminerende for den kvadratiske ligning og betegnes med bogstavet "d".

Den kvadratiske ligning har:

-To reelle løsninger, hvis, og kun hvis, d> 0.

-En reel løsning gentages, hvis, og kun hvis, d = 0.

- Nul reelle løsninger (eller to komplekse løsninger) hvis, og kun hvis, d <0.

Eksempler:

-Løsningerne af ligningen x² + x-2 = 0 er givet ved:

-Ligningen x²-4x + 4 = 0 har en gentagen opløsning, der er givet af:

-Løsningerne af ligningen x² + 1 = 0 er givet ved:

Som det kan ses i dette sidste eksempel, er x2 konjugatet af x1.

Referencer

1. Fuentes, A. (2016). BASIC MATH. En introduktion til calculus. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematik: kvadratiske ligninger: Hvordan man løser en kvadratisk ligning Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematik til ledelse og økonomi. Pearson Uddannelse.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Grænseværdi.
5. Preciado, CT (2005). Matematik Kursus 3. Redaktionel Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Så let. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra og trigonometri. Pearson Uddannelse.