KVADRILATERALE: ELEMENTER, EGENSKABER, KLASSIFICERING, EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

En firkantet er en polygon med fire sider og fire hjørner. Dens modsatte sider er dem, der ikke har vertikater til fælles, mens på hinanden følgende sider er dem, der har et fælles toppunkt.

I en firkantet side deler tilstødende vinkler den ene side, mens modsatte vinkler ikke har nogen sider til fælles. Et andet vigtigt kendetegn ved et firsidet er, at summen af ​​dets fire indre vinkler er dobbelt så højt som vinklen på planen, det vil sige 360 ​​° eller 2π radianer.

Figur 1. Forskellige firedoblinger. Kilde: F. Zapata.

Diagonaler er de segmenter, der forbinder et toppunkt med det modsatte, og i en given firkantet kan en enkelt diagonal trækkes fra hver toppunkt. Det samlede antal diagonaler i et firsidet er to.

Firedrager er figurer, som menneskeheden er kendt siden oldtiden. Arkæologiske optegnelser såvel som konstruktionerne, der overlever i dag, vidner om dette.

På samme måde fortsætter de firedoblede parter en vigtig tilstedeværelse i alles dagligdag. Læseren kan finde denne form på den skærm, hvorpå han læser teksten i dette øjeblik, på vinduer, døre, bildele og utallige andre steder.

Kvadrilateral klassificering

I henhold til paralleliteten fra de modsatte sider klassificeres de firedoblede sider som følger:

1. Trapezoid, når der ikke er nogen parallelisme, og det firkantede er konveks.
2. Trapezoid, når der er parallelitet mellem et enkelt par modsatte sider.
3. Parallelogram, når dens modsatte sider er parallelle to for to.

Figur 2. Klassificering og underklassificering af firedoblinger. Kilde: Wikimedia Commons.

Typer af parallelogram

Til gengæld kan parallelogrammerne klassificeres efter deres vinkler og deres sider som følger:

1. Rektangel er det parallelleogram, der har sine fire indre vinkler af samme mål. De indre vinkler af et rektangel danner en ret vinkel (90º).
2. Firkantet er det et rektangel med sine fire sider af samme mål.
3. Rhombus er parallelogrammet med sine fire lige sider, men forskellige tilstødende vinkler.
4. Rhomboid, parallelogram med forskellige tilstødende vinkler.

Trapeze

Trapezoidet er en konveks firkantet med to parallelle sider.

Figur 3. Baser, sider, højde og median for en trapezoid. Kilde: Wikimedia Commons.

- I en trapezoid kaldes de parallelle sider baser, og de ikke-parallelle sider kaldes lateraler.

- Højden på en trapezoid er afstanden mellem de to baser, dvs. længden af ​​et segment med ender ved baserne og vinkelret på dem. Dette segment kaldes også en trapezoidhøjde.

- Medianen er det segment, der slutter sig til sidepunkternes midtpunkter. Det kan vises, at medianen er parallel med trapezoidens baser, og dens længde er lig med basisenes semisum.

- Området med en trapezoid er dens højde ganget med semisummen af ​​baserne:

Typer af trapezoider

-Rektangulær trapezoid: det er den med en side vinkelret på baserne. Denne side er også højden på trapeziet.

-Isosceles trapezoid: den med sider af samme længde. I en ensartet trapezoid er vinklerne ved siden af ​​baserne lige.

-Scalene trapez: den med sider i forskellige længder. Dets modsatte vinkler kan være den ene skarpe og den anden stumpe, men det kan også ske, at begge er stumpe eller begge skarpe.

Figur 4. Trapesart. Kilde: F. Zapata.

parallelogram

Parallellogrammet er et firsidet, hvis modsatte sider er parallelle to for to. I et parallelogram er de modsatte vinkler lige, og de tilstødende vinkler er supplerende, eller sagt på en anden måde, de tilstødende vinkler tilføjer op til 180º.

Hvis et parallelogram har en ret vinkel, er alle andre vinkler også, og det resulterende tal kaldes et rektangel. Men hvis rektanglet også har sine tilstødende sider af samme længde, er alle siderne lige, og det resulterende tal er en firkant.

Figur 5. Parallelogrammer. Rektanglet, kvadratet og rhombus er parallelogrammer. Kilde: F. Zapata.

Når et parallelogram har to tilstødende sider med samme længde, vil alle siderne være af samme længde, og det resulterende tal er en rhombus.

Højden på et parallelogram er et segment med ender på dets modsatte sider og vinkelret på dem.

Område med et parallelogram

Arealet af et parallelogram er basisenes produkt gange dens højde, idet basen er en side vinkelret på højden (figur 6).

Diagonaler af et parallelogram

Kvadraten af ​​diagonalen, der starter fra et toppunkt, er lig med summen af ​​kvadraterne på de to sider, der støder op til nævnte toppunkt plus dobbeltproduktet af disse sider ved kosinus i vinklen på dette toppunkt:

f ² = a ² + d ² + 2 annonce Cos (α)

Figur 6. Parallelogram. Modsatte vinkler, højde, diagonaler. Kilde: F. Zapata.

Diagonalens firkant modsat et parallelograms toppunkt er lig med summen af ​​kvadraterne på de to sider, der støder op til næsepunktet og trækker det dobbelte produkt af disse sider af kosinus i vinklen på det nævnte toppunkt:

g ² = en ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Parallellogrammer

I ethvert parallelogram er summen af ​​kvadraterne på dens sider lig med summen af ​​kvadraterne af diagonalerne:

en ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Rektanglet er et firkantet med de modsatte sider parallelt to for to og som også har en ret vinkel. Med andre ord er rektanglet en type parallelogram med en ret vinkel. Fordi det er et parallelogram, har rektanglet modsatte sider med samme længde a = c og b = d.

Men som i ethvert parallelogram er de tilstødende vinkler supplerende, og de modsatte vinkler er lige store, i rektanglet, fordi det har en ret vinkel, vil det nødvendigvis danne retvinkler i de tre andre vinkler. Med andre ord, i et rektangel måler alle de indre vinkler 90 ° eller π / 2 radianer.

Diagonaler af et rektangel

I et rektangel er diagonalerne af samme længde, som det vil blive vist nedenfor. Begrundelsen er som følger; Et rektangel er et parallelogram med alle dets rette vinkler og arver derfor alle parallellogrammets egenskaber, inklusive formlen, der giver længden af ​​diagonalerne:

f ² = a ² + d ² + 2 annonce Cos (α)

g ² = en ² + d ² - 2 ad Cos (α)

med α = 90º

Da Cos (90º) = 0, sker det, at:

f ² = g ² = en ² + d ²

Det vil sige f = g, og derfor er længderne f og g af de to diagonaler i rektanglet lige, og deres længde er givet ved:

Hvis der i en rektangel med tilstødende sider a og b tages den ene side som basis, vil den anden side endvidere være højde, og rektanglets område vil derfor være:

Område med rektanglet = øks b.

Omkretsen er summen af ​​alle sider af rektanglet, men da modsætningerne er ens, følger det, at for et rektangel med siderne a og b er omkredsen angivet med følgende formel:

Rektanglets omkreds = 2 (a + b)

Figur 7. Rektangel med siderne a og b. Diagonalerne f og g har samme længde. Kilde: F. Zapata.

Firkant

Firkanten er et rektangel med de tilstødende sider i samme længde. Hvis firkanten har side a, har dens diagonaler f og g den samme længde, som er f = g = (√2) a.

Området med en firkant er dens side-firkant:

Areal af en firkant = a ²

Omkretsen af ​​en firkant er dobbelt så høj som siden:

Kvadratets omkreds = 4 a

Figur 8. Firkantet med side a, der angiver dets område, dets omkreds og længden af ​​dets diagonaler. Kilde: F. Zapata..

Diamant

Ribben er et parallelogram med de tilstødende sider den samme længde, men da de parallelle sider i et parallellogram er lige, er alle siderne af en romb lige lange.

Diagonalerne i en rhombus har forskellig længde, men de skærer hinanden i rette vinkler.

Figur 9. Rhombus af side a, der angiver dets område, dets omkreds og længden af ​​dets diagonaler. Kilde: F. Zapata.

eksempler

Eksempel 1

Vis, at de indre vinkler i en firformet (ikke krydset) udgør 360 °.

Figur 10: Det er vist, hvordan summen af ​​vinklerne på et firkantet samler sig op til 360º. Kilde: F. Zapata.

En firkantet ABCD overvejes (se figur 10), og den diagonale BD tegnes. To trekanter ABD og BCD dannes. Summen af ​​de indvendige vinkler i trekanten ABD er:

a + ß ₁ + δ ₁ = 180º

Og summen af ​​de indre vinkler i trekant BCD er:

β2 + y + δ ₂ = 180º

Tilføjelse af de to ligninger, vi får:

α + ß ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Gruppering:

α + (β ₁ + β ₂) + (δ ₁ + δ ₂) + γ = 2 * 180º

Ved at gruppere og omdøbe, vises det endelig, at:

a + ß + δ + y = 360º

Eksempel 2

Vis at medianen af ​​en trapezoid er parallel med dens baser, og dens længde er semisumet til baserne.

Figur 11. Median MN for trapezium ABCD. Kilde: F. Zapata.

Medianen for en trapezoid er det segment, der forbinder midtpunkterne på dets sider, det vil sige de ikke-parallelle sider. I trapezoid ABCD vist i figur 11 er medianen MN.

Da M er midtpunktet for AD og N er midtpunktet for BC, er AM / AD og BN / BC forholdene lige.

Det vil sige, AM er proportional med BN i den samme andel som AD er til BC, så betingelserne for anvendelse af Thales '(gensidige) teorem er angivet, der siger følgende:

"Hvis proportionelle segmenter bestemmes i tre eller flere linjer, der er skåret af to sekanter, er disse linjer alle parallelle."

I vores tilfælde konkluderes det, at linjerne MN, AB og DC er parallelle med hinanden, derfor:

"Medianen for en trapezoid er parallel med dens baser."

Nu anvendes Thales-sætningen:

"Et sæt paralleller, der er skåret af to eller flere sekanter, bestemmer proportionelle segmenter."

I vores tilfælde AD = 2 AM, AC = 2 AO, så trekanten DAC ligner trekanten MAO, og følgelig DC = 2 MO.

Et lignende argument giver os mulighed for at bekræfte, at CAB svarer til CON, hvor CA = 2 CO og CB = 2 CN. Det følger med det samme, at AB = 2 ON.

Kort sagt AB = 2 ON og DC = 2 MO. Så når vi tilføjer, har vi:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Endelig ryddes MN:

MN = (AB + DC) / 2

Og det konkluderes, at medianen af ​​en trapezoid måler semumsummen af ​​baserne, eller sagt på en anden måde: Medianen måler summen af ​​baserne divideret med to.

Eksempel 3

Vis, at i en rhombus skæver diagonalerne i rette vinkler.

Figur 12. Rhombus og demonstration af, at dens diagonaler skærer hinanden i rette vinkler. Kilde: F. Zapata.

Tavlen i figur 12 viser den nødvendige konstruktion. Først tegnes parallelogram ABCD med AB = BC, det vil sige en romb. Diagonaler AC og DB bestemmer otte vinkler vist på figuren.

Ved hjælp af teoremet (aip), der siger, at skiftevis indvendige vinkler mellem paralleller, der er skåret af en sekant, bestemmer lige vinkler, kan vi etablere følgende:

a ₁ = y ₁, α2 = y2, δ ₁ = ß ₁ og δ2 = β2. (*)

På den anden side, da de tilstødende sider af en rhombus er af samme længde, bestemmes fire ensartede trekanter:

DAB, BCD, CDA og ABC

Nu er trekanten (isosceles) teorem påberåbt, der siger, at vinklerne ved siden af ​​basen er af samme mål, hvorfra det konkluderes, at:

5 ₁ = β2, δ2 = ß ₁, α2 = γ ₁ og α ₁ = γ2 (**)

Hvis forbindelserne (*) og (**) kombineres, nås følgende lighed mellem vinkler:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ på den ene side og β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 på den anden side.

Når vi husker de lige trekanteteorem, der siger, at to trekanter med en lige side mellem to lige vinkler er lige, har vi:

AOD = AOB og følgelig også vinklerne ∡AOD = ∡AOB.

Derefter ∡AOD + ∡AOB = 180º, men da begge vinkler har samme mål, har vi 2 ∡AOD = 180º, hvilket indebærer at ∡AOD = 90º.

Det vil sige, det vises geometrisk, at rombens diagonaler skærer hinanden i rette vinkler.

Øvelser løst

- Øvelse 1

Vis, at i en højre trapezoid er de ikke-højre vinkler supplerende.

Løsning

Figur 13. Trapez til højre. Kilde: F. Zapata.

Trapezoid ABCD er konstrueret med baser AB og DC parallelt. Den indvendige vinkel i toppunkt A er ret (den måler 90º), så vi har en ret trapez.

Vinklerne a og δ er indre vinkler mellem to paralleller AB og DC, derfor er de lige, det vil sige δ = α = 90º.

På den anden side er det vist, at summen af ​​de indvendige vinkler i en firkantet udgør 360 °, dvs.

α + ß + γ + δ = 90º + ß + 90º + δ = 360º.

Ovenstående fører til:

ß + δ = 180º

Bekræftelse af, hvad der ønskede at vise, at vinklerne β og δ er supplerende.

- Øvelse 2

Et parallelogram ABCD har AB = 2 cm og AD = 1 cm, derudover er vinklen BAD 30º. Bestem området for dette parallelogram og længden af ​​dets to diagonaler.

Løsning

Arealet af et parallelogram er produktet af længden af ​​basen og dens højde. I dette tilfælde tages længden af ​​segmentet b = AB = 2 cm som basis, den anden side har længden a = AD = 1 cm, og højden h beregnes som følger:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Altså: Areal = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ².

Referencer

1. CEA (2003). Geometrielementer: med øvelser og kompassgeometri. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Redaktionel Patria.
3. Freed, K. (2007). Oplev polygoner. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generaliserede polygoner. Birkhäuser.
5. Iger. (Sf). Matematik Første semester Tacaná. Iger.
6. Jr. geometri. (2014). Polygoner. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heerenveen og Hornsby. (2006). Matematik: Begrundelse og applikationer (tiende udgave). Pearson Uddannelse.
8. Patiño, M. (2006). Matematik 5. Redaktionel Progreso.
9. Wikipedia. Quadrilaterals. Gendannet fra: es.wikipedia.com