REB (GEOMETRI): LÆNGDE, SÆTNING OG ØVELSER - MATEMATIK - 2025

En akkord, i plangeometri, er linjesegmentet, der forbinder to punkter på en kurve. Linjen, der indeholder dette segment, siges at være en sikker linje til kurven. Dette er ofte en cirkel, men akkorder kan bestemt trækkes på mange andre kurver, såsom ellipser og paraboler.

I figur 1 til venstre er der en kurve, som punkterne A og B. hører til. Akkorden mellem A og B er det grønne segment. Til højre er en omkreds og en af ​​dens strenge, da det er muligt at trække uendeligheder.

Figur 1. Til venstre akkorden for en vilkårlig kurve og til højre akkorden for en cirkel. Kilde: Wikimedia Commons.

I omkredsen er dens diameter særlig interessant, som også er kendt som hovedakkorden. Det er en akkord, der altid indeholder midten af ​​omkredsen og måler dobbelt radius.

Den følgende figur viser radius, diameter, et akkord og også en omkredsbue. Korrekt identificering af hver enkelt er vigtig, når man løser problemer.

Figur 2. Elementer af omkredsen. Kilde: Wikimedia Commons.

Akkordlængde på en cirkel

Vi kan beregne længden af ​​akkorden i en cirkel fra figur 3a og 3b. Bemærk, at der altid er dannet en trekant med to lige sider (isosceles): segmenter OA og OB, som måler R, omkredsens radius. Den tredje side af trekanten er segment AB, kaldet C, som netop er længden af ​​akkorden.

Det er nødvendigt at tegne en linje vinkelret på akkorden C for at halvere den vinkel θ, der findes mellem de to radier, og hvis toppunkt er centrum O af cirklen. Dette er en central vinkel - fordi dens toppunkt er centrum - og halveringslinien er også en hængsel til omkredsen.

Umiddelbart dannes to højre trekanter, hvis hypotenuse måler R. Da bisektoren, og med den diameteren, deler akkorden i to lige store dele, viser det sig, at et af benene er halvdelen af ​​C, som angivet i Figur 3b.

Fra definitionen af ​​sinus af en vinkel:

sin (θ / 2) = modsat ben / hypotenuse = (C / 2) / R

Dermed:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Figur 3. Trekanten, der er dannet af to radier og en omkredsakkord, er ensartede (figur 3), da den har to lige sider. Bisektoren deler den i to højre trekanter (figur 3b). Kilde: udarbejdet af F. Zapata.

String teorem

Strengteoremet går sådan ud:

Den følgende figur viser to akkorder med den samme omkreds: AB og CD, som skærer hinanden ved punkt P. I akkorden AB er segmenterne AP og PB defineret, mens CD'en og CP er defineret i akkorden. Så ifølge sætningen:

AP. PB = CP. P. S.

Figur 4. Akkordsætning af en cirkel. Kilde: F. Zapata.

Løst øvelser af strenge

- Øvelse 1

En cirkel har et 48 cm akkord, der er 7 cm fra midten. Beregn cirkelområdet og omkredsens omkreds.

Løsning

For at beregne arealet af cirkel A er det nok at kende radius for den firkantede omkreds, da det er sandt:

A = π.R ²

Nu er figuren, der er dannet med de leverede data, en højre trekant, hvis ben er henholdsvis 7 og 24 cm.

Figur 5. Geometri til den løste øvelse 1. Kilde: F. Zapata.

Derfor, for at finde værdien af R ², Pythagoras læresætning c ² = a ² + b ² anvendes direkte, da R er hypotenusen i trekanten:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Så det ønskede område er:

A = π. 625 cm ² = 1963.5 cm ²

Med hensyn til omkredsens perimeter eller længde L beregnes det ved:

L = 2π. R

Udskiftning af værdier:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Øvelse 2

Bestemm længden på akkorden for en cirkel, hvis ligning er:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

Koordinaterne for akkordets midtpunkt vides at være P (17/2; 7/2).

Løsning

Midtpunktet for akkorden P hører ikke til omkredsen, men akkordens slutpunkter gør det. Problemet kan løses ved hjælp af den tidligere udtalte strengteorem, men først er det praktisk at skrive ligningen af ​​omkredsen i kanonisk form for at bestemme dens radius R og dens centrum O.

Trin 1: opnå den kanoniske ligning af omkredsen

Den kanoniske ligning af cirklen med centrum (h, k) er:

(xh) ² + (yk) ² = R ²

For at få det skal du udfylde firkanter:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

Bemærk, at 6x = 2. (3x) og 14y = 2. (7y), så det forrige udtryk bliver omskrevet på denne måde, hvilket forbliver uændret:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ²) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ²) -111 = 0

Og nu, når du husker definitionen af ​​bemærkelsesværdigt produkt (ab) ² = a ² - 2ab + b ², kan du skrive:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Omkredsen har centrum (3,7) og radius R = √169 = 13. Følgende figur viser grafen for omkredsen og akkorderne, der vil blive brugt i sætningen:

Figur 6. Graf over omkredsen af ​​den løste øvelse 2. Kilde: F. Zapata ved hjælp af Mathway online grafregner.

Trin 2: Bestem de segmenter, der skal bruges i strengteoremet

Segmenterne, der skal bruges, er strengene CD og AB, i henhold til figur 6 er begge skåret ved punkt P, derfor:

CP. PD = AP. PB

Nu finder vi afstanden mellem punkterne O og P, da dette giver os længden på segmentet OP. Hvis vi tilføjer radius til denne længde, har vi segmentet CP.

Afstanden d _OP mellem to koordinatpunkter (x ₁, y ₁) og (x ₂, y ₂) er:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁) ² + (y ₂ - y ₁) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Med alle opnåede resultater plus grafen konstruerer vi følgende liste over segmenter (se figur 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = akkordlængde

I stedet for strenge teorem:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Længden på strengen er 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Kunne læseren løse problemet på en anden måde?

Referencer

1. Baldor, A. 2004. Plane and Space Geometry with Trigonometry. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Længde af en akkord. Gendannet fra: ck12.org.
3. Escobar, J. Omkretsen. Gendannes fra: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Gendannes fra: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Reb (geometri). Gendannet fra: es.wikipedia.org.