IMPLICITTE DERIVATER: HVORDAN DE LØSES OG ØVELSER LØSES - MATEMATIK - 2025

De implicitte derivater er værktøjer, der bruges i en differentieringsmetode, der anvendes til funktioner. De anvendes, når det ikke under regelmæssige metoder er muligt at løse for den afhængige variabel, der skal udledes. Denne clearance udføres som en funktion af den uafhængige variabel.

For eksempel kan udtrykket, der definerer “y” som en funktion af “x”, ikke fås i udtrykket 3xy ³ - 2y + xy ² = xy. Så at ved at udlede differentielt ekspression kan dy / dx opnås.

Hvordan løses implicitte derivater?

For at løse et implicit derivat starter vi med et implicit udtryk. For eksempel: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. Dette er allerede blevet løst korrekt, men at gøre dette er ikke en nødvendig betingelse for at opnå derivatet af y med hensyn til x. Derefter afledes hvert af elementerne under respekt for kædereglen for blandede funktioner:

3xy ³ er sammensat af 2 variabler, derfor behandles d (3xy ³) som et derivat af et produkt af funktioner.

d (3xy ³) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

Hvor elementet y 'er kendt som “y prime” og repræsenterer dy / dx

-2y Det er afledt i henhold til loven KU = K.U '

d (-2y) = -2 y '

xy ² antager en anden forskel, der er sammensat af et produkt af funktioner

d (xy ²) = y ² + 2xy y '

-xy behandles homologt

d (-xy) = -y - x y '

De er substitueret i lighed, vel vidende, at derivatet af nul er nul.

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

De elementer, der har udtrykket y ', er samlet på den ene side af ligestillingen

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Den fælles faktor y 'udvindes fra højre side af ligestillingen

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

Endelig ryddes udtrykket, der multiplicerer y '. Dermed opnåes det udtryk, der svarer til det implicitte derivat af y med hensyn til x.

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

Kæderegel

I implicit afledning overholdes kædereglen altid. Alle differentielle udtryk gives som en funktion af den uafhængige variabel X. Så hver variabel θ bortset fra X skal indeholde udtrykket dθ / dx efter at være afledt.

Dette udtryk vises kun i første grad eller med en eksponent lig med 1. Denne kvalitet gør det helt klart under traditionelle factoringmetoder. Det er således muligt at opnå det udtryk, der definerer differensen d / dx.

Kædereglen viser den progressive karakter af differentierings- eller derivatprocessen. Hvor for hver sammensat funktion f, har vi, at den differentielle udtryk for f vil være

Driftsordre

I hver formel eller afledningslov, der anvendes, skal variablenes rækkefølge tages i betragtning. Kriterierne forbundet med den uafhængige variabel overholdes uden at ændre dens korrelation med den afhængige variabel.

Forholdet mellem den afhængige variabel på afledningstidspunktet tages direkte; Med undtagelse af, at dette vil blive betragtet som en anden funktion, og derfor anvendes kæderegelkriteriet for blandede funktioner.

Dette kan udvikles i udtryk med mere end 2 variabler. Under de samme principper betegnes alle forskelle, der henviser til de afhængige variabler.

Grafisk håndteres det samme kriterium, der definerer derivatet. Mens derivatet er hældningen for tangentlinjen til kurven i planet, repræsenterer resten af ​​forskellene, der hører til de afhængige variabler (dy / dx, dz / dx) plan tangent til vektorlegemerne beskrevet af de flere variabelfunktioner.

Implicit

En funktion siges at være implicit defineres hvis udtrykket y = f (x) kan repræsenteres som en multipel variabel funktion F (x, y) = 0, så længe F er defineret i R ² plan.

3xy ³ - 2y + xy ² = xy kan skrives i formen 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

I betragtning af umuligheden ved at gøre funktionen y = f (x) eksplicit.

Historie

Differentialberegningen begyndte at blive navngivet af forskellige matematiske forskere omkring det syttende århundrede. Den første gang det blev nævnt var gennem bidrag fra Newton og Leibniz. Begge behandlede differentieringsberegningen fra forskellige synsvinkler, men konvergerede i deres resultater.

Mens Newton fokuserede på differentiering som en hastighed eller hastighed for ændring, var Leibniz 'tilgang mere geometrisk. Det kan siges, at Newton angreb de antagelser, som Apollonius fra Perge og Leibniz havde efterladt de geometriske ideer fra Fermat.

Den implicitte afledning vises øjeblikkeligt, når man overvejer de differentielle og integrerede ligninger. Disse udvidede Leibniz geometriske koncept til R ³ og endda til multidimensionelle rum.

Applikationer

Implicitte derivater bruges i forskellige situationer. De er almindelige i valutakursproblemer mellem relaterede variabler, hvor variablerne afhængigt af studiens fornemmelse betragtes som afhængige eller uafhængige.

De har også interessante geometriske applikationer, såsom refleksions- eller skyggeproblemer, på figurer, hvis form kan matematisk modelleres.

De bruges ofte inden for økonomi og teknik samt i forskellige undersøgelser af naturfænomener og eksperimentelle bygninger.

Løst øvelser

Øvelse 1

Definer det implicitte udtryk, der definerer dy / dx

Hvert element i udtrykket er differentieret

Fastlæggelse af kædereglen i hvert kompetent tilfælde

Grupper på en side af ligestilling de elementer, der har dy / dx

Det er beregnet ved hjælp af den fælles faktor

Det løses ved at opnå det ønskede udtryk

Øvelse 2

Definer det implicitte udtryk, der definerer dy / dx

Udtrykkelse af derivater, der skal udføres

Aflede implicit efter kæderegel

Factoring af fælles elementer

Gruppering af udtrykket dy / dx på den ene side af ligestillingen

Fælles faktor for det differentielle element

Vi isolerer og opnår det ønskede udtryk

Referencer

1. Beregning af en enkelt variabel. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. nov 2008
2. Den implicitte funktionsteorem: Historie, teori og applikationer. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. nov. 2012
3. Multivariabel analyse. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. december. 2010
4. Systemdynamik: modellering, simulering og styring af mekatroniske systemer. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. mar 2012
5. Calculus: Matematik og modellering. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. jan 1999