DELVISE DERIVATER: NOTATION, EKSEMPLER OG LØSTE ØVELSER - MATEMATIK - 2025

De partielle derivater af en funktion af flere variabler er dem, der bestemmer hastigheden for ændring af funktionen, når en af ​​variablerne har en uendelig variation, mens de andre variabler forbliver uændrede.

For at gøre idéen mere konkret skal du antage, at der er tale om en funktion af to variabler: z = f (x, y). Den partielle derivat af funktionen f med hensyn til variablen x beregnes som det almindelige derivat med hensyn til x, men tager variablen y som om den var konstant.

Figur 1. Funktion f (x, y) og dets partielle derivater ∂ _x f y ∂ _y f ved punkt P. (Uddybet af R. Pérez med geogebra)

Delvis derivatnotation

Den delvise deriverede funktion af funktionen f (x, y) på variablen x er angivet på en af ​​følgende måder:

I partielle derivater bruges symbolet ∂ (en slags afrundet bogstav d, også kaldet Jacobi's d), i modsætning til det almindelige derivat for enkeltvariabile funktioner, hvor bogstavet d bruges til derivat.

Generelt betyder det partielle derivat af en multivariat funktion med hensyn til en af ​​dens variabler en ny funktion i de samme variabler fra den originale funktion:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Beregning og betydning af det partielle derivat

For at bestemme hastigheden for ændring eller hældning af funktionen for et specifikt punkt (x = a, y = b) i retningen parallelt med X-aksen:

1- Funktionen ∂ _x f (x, y) = g (x, y) beregnes ved at tage det almindelige derivat i variablen x og lade variablen y være fast eller konstant.

2- Derefter erstattes værdien af ​​punktet x = a og y = b, hvor vi vil vide hastigheden for ændring af funktionen i x-retningen:

{Hældning i x-retningen på punktet (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- For at beregne ændringshastigheden i y-retningen ved koordinatpunktet (a, b) skal du først beregne ∂ _og f (x, y) = h (x, y).

4- Derefter erstattes punktet (x = a, y = b) i det forrige resultat for at opnå:

{Hældning i y-retningen på punktet (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Eksempler på partielle derivater

Nogle eksempler på partielle derivater er som følger:

Eksempel 1

Givet funktionen:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Find de partielle derivater af funktionen f med hensyn til variablen x og variablen y.

Løsning:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Bemærk, at for at beregne det partielle derivat af funktionen f med hensyn til variablen x, blev det almindelige derivat med hensyn til x udført, men variablen y blev taget som om den var konstant. Tilsvarende er der ved beregningen af ​​det partielle derivat af f med hensyn til y variablen x taget som om det var en konstant.

Funktionen f (x, y) er en overflade kaldet en paraboloid vist i figur 1 i okerfarve.

Eksempel 2

Find ændringshastigheden (eller hældningen) for funktionen f (x, y) fra eksempel 1 i retning af X-aksen og Y-aksen for punktet (x = 1, y = 2).

Løsning: For at finde skråningerne i x- og y-retningen på det givne punkt skal du blot erstatte punktets værdier i funktionen ∂ _x f (x, y) og i funktionen ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _og f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Figur 1 viser tangentlinjen (i rød farve) til kurven bestemt ved skæringspunktet mellem funktionen f (x, y) med planet y = 2, hældningen af ​​denne linje er -2. Figur 1 viser også tangentlinjen (i grønt) til kurven, der definerer skæringspunktet mellem funktionen f og planet x = 1; Denne linje har hældning -4.

Øvelser

Øvelse 1

Et konisk glas på et givet tidspunkt indeholder vand, så vandets overflade har radius r og dybde h. Men glasset har et lille hul i bunden, gennem hvilket vand går tabt med en hastighed på C kubikcentimeter per sekund. Bestem nedstigningshastigheden fra vandoverfladen i centimeter pr. Sekund.

Løsning:

For det første er det nødvendigt at huske, at vandmængden på det givne øjeblik er:

Volumen er en funktion af to variabler, radius r og dybde h: V (r, h).

Når volumenet ændres med en uendelig mængde dV, ændres radius r af vandoverfladen og dybden h af vandet også efter følgende forhold:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Vi fortsætter med at beregne de partielle derivater af V med hensyn til henholdsvis r og h:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Desuden opfylder radius r og dybde h følgende forhold:

Opdeling af begge medlemmer med tidsforskellen dt giver:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Men dV / dt er volumenet af vandtab pr. Tidsenhed, der vides at være C centimeter pr. Sekund, mens dh / dt er nedstigningshastigheden for den frie overflade af vand, der vil blive kaldt v. Det vil sige, at vandoverfladen på det givne øjeblik falder med en hastighed v (i cm / s) givet af:

v = C / (π r ^ 2).

Antag som en numerisk anvendelse, at r = 3 cm, h = 4 cm, og lækagehastigheden C er 3 cm ^ 3 / s. Så er hastigheden for nedstigning af overfladen på det øjeblik:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Øvelse 2

Clairaut - Schwarz teorem siger, at hvis en funktion er kontinuerlig i dens uafhængige variabler og dens partielle derivater med hensyn til de uafhængige variabler også er kontinuerlig, så kan andenordens blandede derivater udskiftes. Kontroller dette sætning for funktionen

f (x, y) = x ^ 2 y, det vil sige, det skal være sandt, at f _xy f = ∂ _yx f.

Løsning:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f), mens ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Schwarz's sætning har vist sig at have, da funktionen f og dens partielle derivater er kontinuerlige for alle reelle tal.

Referencer

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (2000). Beregning 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Beregningen med analytisk geometri. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Beregning. Mexico: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferential calculus. Hypotenusen.
5. Saenz, J. (2006). Integreret beregning. Hypotenusen.
6. Wikipedia. Delvis derivat. Gendannet fra: es.wikipedia.com