SUCCESSIVE DERIVATER (MED ØVELSER LØST) - MATEMATIK - 2025

De successive derivater er dem, der stammer fra en funktion efter det andet derivat. Processen til beregning af de efter hinanden følgende derivater er følgende: vi har en funktion f, som vi kan udlede og således opnå den deriverede funktion f '. Vi kan aflede dette derivat af f igen, opnå (f ')'.

Denne nye funktion kaldes det andet derivat; alle derivater beregnet fra det andet er successive; Disse, også kaldet højere orden, har store anvendelser, såsom at give information om plottet for grafen for en funktion, testen af ​​det andet derivat for relative ekstremer og bestemmelsen af ​​uendelige serier.

Definition

Ved hjælp af Leibniz's notation har vi, at derivatet af en funktion "y" med hensyn til "x" er dy / dx. For at udtrykke det andet derivat af "y" ved hjælp af Leibniz's notation, skriver vi som følger:

Generelt kan vi udtrykke successive derivater som følger med Leibnizs notation, hvor n repræsenterer rækkefølgen af ​​derivatet.

Andre notationer er følgende:

Nogle eksempler på hvor vi kan se de forskellige notationer er:

Eksempel 1

Få alle derivater fra funktionen f defineret af:

Ved hjælp af de sædvanlige afledningsteknikker har vi, at derivatet af f er:

Ved at gentage processen kan vi opnå det andet derivat, det tredje derivat osv.

Bemærk, at det fjerde derivat er nul og derivatet af nul er nul, så vi har:

Eksempel 2

Beregn det fjerde derivat af følgende funktion:

At udlede den givne funktion, vi har som resultat:

Hastighed og acceleration

En af motiverne, der førte til opdagelsen af ​​derivatet, var søgningen efter definitionen af ​​øjeblikkelig hastighed. Den formelle definition er som følger:

Lad y = f (t) være en funktion, hvis graf beskriver banen til en partikel på tidspunktet t, derefter er dens hastighed på tidspunktet t givet af:

Når en partikles hastighed er opnået, kan vi beregne øjeblikkelig acceleration, som er defineret som følger:

Den øjeblikkelige acceleration af en partikel, hvis vej er givet af y = f (t) er:

Eksempel 1

En partikel bevæger sig langs en linje i henhold til positionsfunktionen:

Hvor "y" måles i meter og "t" i sekunder.

- På hvilket øjeblik er dens hastighed 0?

- På hvilket øjeblik er dens acceleration 0?

Når vi udleder positionsfunktionen «og» har vi, at dens hastighed og acceleration er givet henholdsvis ved:

For at besvare det første spørgsmål er det nok at bestemme, hvornår funktionen v bliver nul; dette er:

Vi fortsætter med følgende spørgsmål på en analog måde:

Eksempel 2

En partikel bevæger sig langs en linje i henhold til følgende bevægelsesligning:

Bestem "t, y" og "v", når a = 0.

At vide, at hastighed og acceleration er givet af

Vi fortsætter med at udlede og opnå:

Oprettelse af a = 0, vi har:

Fra hvor vi kan udlede, at værdien af ​​t for a at være lig med nul er t = 1.

Derefter vurderer vi positionsfunktionen og hastighedsfunktionen ved t = 1, og vi har:

Applikationer

Eksplicit afledning

På hinanden følgende derivater kan også opnås ved implicit afledning.

Eksempel

Givet følgende ellipse, find "y":

Udledes implicit med hensyn til x, har vi:

Derefter implicit genindtagelse med hensyn til x giver os:

Endelig har vi:

Relative ekstremer

En anden anvendelse, som vi kan give til andenordens derivater, er ved beregningen af ​​relative ekstremer for en funktion.

Kriteriet for det første derivat for lokale ekstremer fortæller os, at hvis vi har en kontinuerlig funktion f på et interval (a, b), og der er et c, der hører til det nævnte interval, så f 'forsvinder i c (det vil sige, at c er et kritisk punkt), kan en af ​​tre tilfælde opstå:

- Hvis f´ (x)> 0 for enhver x, der hører til (a, c) og f´ (x) <0 for x, der hører til (c, b), er f (c) et lokalt maksimum.

- Hvis f´ (x) <0 for ethvert x, der hører til (a, c) og f´ (x)> 0 for x, der tilhører (c, b), er f (c) et lokalt minimum.

- Hvis f´ (x) har lige login (a, c) og in (c, b), betyder det, at f (c) ikke er en lokal ekstrem.

Ved hjælp af kriteriet for det andet derivat kan vi vide, om et kritisk antal af en funktion er et lokalt maksimum eller et minimum, uden at skulle se, hvad funktionen er i ovennævnte intervaller.

Kriteriet for den anden drift fortæller os, at hvis f´ (c) = 0 og at f´´ (x) er kontinuerligt i (a, b), sker det, at hvis f´´ (c)> 0, så er f (c) er et lokalt minimum, og hvis f´´ (c) <0, er f (c) et lokalt maksimum.

Hvis f´´ (c) = 0, kan vi ikke konkludere noget.

Eksempel

Givet funktionen f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ², find de relative maksima og minima for f ved hjælp af kriteriet for det andet derivat.

Først beregner vi f´ (x) og f´´ (x), og vi har:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Nu, f´ (x) = 0 hvis, og kun hvis 4x (x + 2) (x - 1) = 0, og dette sker, når x = 0, x = 1 eller x = - 2.

For at bestemme, om de opnåede kritiske tal er relative ekstremer, er det nok at evaluere ved f´´ og således observere dets tegn.

f´´ (0) = - 8, så f (0) er et lokalt maksimum.

f´´ (1) = 12, så f (1) er et lokalt minimum.

f´´ (- 2) = 24, så f (- 2) er et lokalt minimum.

Taylor-serie

Lad f være en funktion defineret som følger:

Denne funktion har en konvergensradius R> 0 og har derivater af alle ordrer i (-R, R). De successive derivater af f giver os:

Ved at tage x = 0 kan vi få værdierne af c _n som en funktion af deres derivater som følger:

Hvis vi tager an = 0 som funktionen f (det vil sige f ^ 0 = f), kan vi omskrive funktionen som følger:

Lad os nu betragte funktionen som en række kræfter ved x = a:

Hvis vi udfører en analyse analog med den forrige, ville vi skulle skrive funktionen f som:

Disse serier er kendt som Taylor-serie fra f til a. Når a = 0 har vi det særlige tilfælde kaldet Maclaurin-serien. Denne type serier er af stor matematisk betydning især i numerisk analyse, da vi takket være disse kan definere funktioner i computere som e ^x, sin (x) og cos (x).

Eksempel

Få Maclaurin-serien til e ^x.

Bemærk, at hvis f (x) = e ^x, så er f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x og f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, så dens Maclaurin-serie er:

Referencer

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (nd). Beregning 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Beregningen med analytisk geometri. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Beregning. Mexico: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferential calculus. Hypotenusen.
5. Saenz, J. (nd). Integreret beregning. Hypotenusen.