Den additive nedbrydning af et positivt heltal består af at udtrykke det som en sum af to eller flere positive heltal. Vi har således, at tallet 5 kan udtrykkes som 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 eller 5 = 1 + 2 + 2. Hver af disse måder til at skrive nummeret 5 er, hvad vi vil kalde additiv nedbrydning.

Hvis vi er opmærksomme, kan vi se, at udtrykkene 5 = 2 + 3 og 5 = 3 + 2 repræsenterer den samme sammensætning; de har begge de samme numre. Dog for nemheds skyld er hvert tilføjelse normalt skrevet efter kriteriet fra laveste til højeste.

Additiv nedbrydning

Som et andet eksempel kan vi tage nummeret 27, som vi kan udtrykke som:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Additiv nedbrydning er et meget nyttigt værktøj, der gør det muligt for os at styrke vores viden om nummereringssystemer.

Kanonisk additiv nedbrydning

Når vi har tal med mere end to cifre, er en bestemt måde at nedbryde dem i multiplerne på 10, 100, 1000, 10 000 osv., Der udgør det. Denne måde at skrive ethvert nummer kaldes kanonisk additiv nedbrydning. For eksempel kan tallet 1456 nedbrydes som følger:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Hvis vi har nummeret 20 846 295, vil dets kanoniske additive nedbrydning være:

20 846 295 = 20.000.000 + 800.000 + 40.000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Takket være denne nedbrydning kan vi se, at værdien af ​​et givet ciffer er angivet af den position, det besætter. Lad os tage numrene 24 og 42 som et eksempel:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Her kan vi se, at i 24 har 2 en værdi på 20 enheder og 4 en værdi på 4 enheder; på den anden side i 42 har 4 en værdi på 40 enheder og 2 af to enheder. Selv om begge numre bruger de samme cifre, er deres værdier således helt forskellige på grund af deres position.

Applikationer

En af de applikationer, som vi kan give til additiv nedbrydning, er i visse typer bevis, hvor det er meget nyttigt at se et positivt heltal som summen af ​​andre.

Eksempel sætning

Lad os tage et eksempel med følgende teorem med dets respektive bevis.

- Lad Z være et 4-cifret heltal, så kan Z deles med 5, hvis dens tilsvarende tal til enhederne er nul eller fem.

Demonstration

Lad os huske, hvad der er delbarhed. Hvis vi har heltal "a" og "b", siger vi, at "a" deler "b", hvis der findes et heltal "c", så at b = a * c.

En af egenskaberne ved delbarhed fortæller os, at hvis "a" og "b" kan deles med "c", så er subtraktionen "ab" også delbar.

Lad Z være et 4-cifret heltal; derfor kan vi skrive Z som Z = ABCD.

Ved hjælp af kanonisk additiv nedbrydning har vi:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Det er klart, at A * 1000 + B * 100 + C * 10 kan deles med 5. Til dette har vi, at Z kan deles med 5, hvis Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) kan deles med 5.

Men Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D og D er et enkelt cifret tal, så den eneste måde, hvorpå det kan deles med 5, er, at det er 0 eller 5.

Derfor kan Z deles med 5, hvis D = 0 eller D = 5.

Bemærk, at hvis Z har n cifre, er beviset nøjagtigt det samme, ændrer det kun, at vi nu ville skrive Z = A ₁ A ₂… A _n, og målet ville være at bevise, at A _n er nul eller fem.

Skillevægge

Vi siger, at en partition af et positivt heltal er en måde, hvorpå vi kan skrive et tal som en sum af positive heltal.

Forskellen mellem en additiv nedbrydning og en partition er, at mens den første søger, at det i det mindste kan nedbrydes i to tilføjelser eller mere, har partitionen ikke denne begrænsning.

Vi har således følgende:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Ovenstående er partitioner af 5.

Det vil sige, at vi har, at enhver additiv nedbrydning er en partition, men ikke hver partition er nødvendigvis en additiv nedbrydning.

I talteori garanterer det grundlæggende teorem for aritmetik, at hvert heltal kan skrives unikt som et produkt af primater.

Når man studerer partitioner, er målet at bestemme på hvor mange måder et positivt heltal kan skrives som summen af ​​andre heltal. Derfor definerer vi partitionsfunktionen som præsenteret nedenfor.

Definition

Partitionsfunktionen p (n) er defineret som antallet af måder, hvorpå et positivt heltal n kan skrives som en sum af positive heltal.

Når vi vender tilbage til eksemplet med 5, har vi det:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Således er p (5) = 7.

Grafik

Både partitioner og additive dekompositioner af et tal n kan repræsenteres geometrisk. Antag, at vi har en additiv nedbrydning af n. I denne nedbrydning kan tilføjelserne arrangeres, så medlemmerne af summen bestilles fra mindst til størst. Så okay:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r med

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤… ≤ a _r.

Vi kan tegne denne nedbrydning på følgende måde: i den første række markerer vi _1- punkterne, derefter i den næste markerer vi _2- punkter, og så videre, indtil vi når _r.

Tag for eksempel tallet 23 og dets følgende nedbrydning:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Vi bestiller denne nedbrydning, og vi har:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Dens tilsvarende graf vil være: