TRIANGELULIGHED: BEVIS, EKSEMPLER, LØSTE ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Det kaldes ulige trekantegenskaber, der opfylder to reelle tal, der består af den absolutte værdi af deres sum er altid mindre end eller lig med summen af ​​deres absolutte værdier. Denne egenskab er også kendt som Minkowskis ulighed eller trekantede ulighed.

Denne egenskab ved tal kaldes trekantet ulighed, fordi det i trekanter forekommer, at længden af ​​den ene side altid er mindre end eller lig med summen af ​​de to andre, selvom denne ulighed ikke altid gælder inden for trekanter.

Figur 1. Den absolutte værdi af summen af ​​to tal er altid mindre end eller lig med summen af ​​deres absolutte værdier. (Udarbejdet af R. Pérez)

Der er flere beviser for den trekantede ulighed i reelle tal, men i dette tilfælde vil vi vælge en baseret på egenskaberne for den absolutte værdi og den binomiale kvadrat.

Sætning: For hvert par af numre a og b, der hører til de reelle tal, har vi:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Demonstration

Vi begynder med at overveje det første medlem af uligheden, som vil blive kvadratisk:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Æg. 1)

I det forrige trin brugte vi egenskaben, at et hvilket som helst kvadratnummer er lig med den absolutte værdi af det nævnte firkantede nummer, det vil sige: -x- ^ 2 = x ^ 2. Den firkantede binomiale udvidelse er også blevet brugt.

Hvert tal x er mindre end eller lig med dets absolutte værdi. Hvis antallet er positivt, er det lige, men hvis antallet er negativt, vil det altid være mindre end et positivt tal. I dette tilfælde kan dets egen absolutte værdi, det vil sige, at x ≤ - x -.

Produktet (ab) er et tal, derfor gælder det, at (ab) ≤ - ab -. Når denne egenskab anvendes til (Æg. 1), har vi:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Æg. 2)

Under hensyntagen til at - ab - = - a - b - la (Æg. 2) kan skrives som følger:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (Æg. 3)

Men da vi før sagde, at kvadratet af et tal er lig med den absolutte værdi af det firkantede antal, kan ligning 3 omskrives som følger:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (Æg. 4)

I det andet medlem af uligheden anerkendes et bemærkelsesværdigt produkt, der, når det anvendes, fører til:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (Æg. 5)

I det forrige udtryk skal det bemærkes, at de værdier, der skal kvadreres i begge medlemmer af uligheden, er positive, derfor må det også være tilfreds med, at:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (Æg. 6)

Det forrige udtryk er nøjagtigt, hvad du ville demonstrere.

eksempler

Dernæst tjekker vi den trekantede ulighed med flere eksempler.

Eksempel 1

Vi tager værdien a = 2 og værdien b = 5, det vil sige begge positive tal, og vi tjekker, om uligheden er tilfreds eller ikke.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Ligestilling bekræftes, derfor er teorien for ulighed i trekanten opfyldt.

Eksempel 2

Følgende værdier a = 2 og b = -5 vælges, det vil sige et positivt tal og det andet negativt. Vi kontrollerer, om uligheden er tilfreds eller ikke.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Uligheden er tilfreds, derfor er den trekantede ulighedssætning verificeret.

Eksempel 3

Vi tager værdien a = -2 og værdien b = 5, det vil sige et negativt tal og det andet positive, vi tjekker, om uligheden er tilfreds eller ikke.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Uligheden er verificeret, derfor er sætningen blevet opfyldt.

Eksempel 4

Følgende værdier a = -2 og b = -5 vælges, det vil sige begge negative tal, og vi kontrollerer, om uligheden er tilfreds eller ikke.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Ligestilling bekræftes, derfor er Minkowskys ulige sætning opfyldt.

Eksempel 5

Vi tager værdien a = 0 og værdien b = 5, det vil sige et tal nul og den anden positive, så kontrollerer vi, om uligheden er tilfreds eller ikke.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Ligestilling er opfyldt, derfor er trekanten ulighedsteorem verificeret.

Eksempel 6

Vi tager værdien a = 0 og værdien b = -7, det vil sige et tal nul og det andet positivt, så kontrollerer vi, om uligheden er tilfreds eller ikke.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Ligestilling verificeres, derfor er den trekantede ulighedsteorem opfyldt.

Løst øvelser

I de følgende øvelser skal du geometrisk repræsentere trekantens ulighed eller Minkowski-ulighed for tallene a og b.

Tallet a vil blive repræsenteret som et segment på X-aksen, dets oprindelse O falder sammen med nulet på X-aksen, og den anden ende af segmentet (ved punkt P) vil være i den positive retning (til højre) af X-aksen, hvis en > 0, men hvis a <0 vil det være i retning af den negative retning af X-aksen, så mange enheder som dens absolutte værdi indikerer.

Tilsvarende vil tallet b være repræsenteret som et segment, hvis oprindelse er på punkt P. Den anden ekstreme, det vil sige, punkt Q vil være til højre for P, hvis b er positiv (b> 0), og punkt Q vil være -b - enheder til venstre for P hvis b <0.

Øvelse 1

Grafer uligheden i trekanten for a = 5 og b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, hvor c = a + b.

Øvelse 2

Graf den trekantede ulighed for a = 5 og b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, hvor c = a + b.

Øvelse 3

Vis grafisk uligheden i trekanten for a = -5 og b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, hvor c = a + b.

Øvelse 4

Konstruer grafisk den trekantede ulighed for a = -5 og b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, hvor c = a + b.

Referencer

1. E. Whitesitt. (1980). Boolsk algebra og dens applikationer. Redaktionelt firma Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Elements of Abstract Analysis.. Institut for matematik. University college Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Matematik og teknik i datalogi. Institut for Computer Sciences and Technology. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
4. Eric Lehman. Matematik til datalogi. Google Inc.
5. F. Thomson Leighton (1980). Calculus. Institut for Matematik og Computer Science and AI Laboratory, Massachussetts Institute of Technology.
6. Khan Academy. Triangel-ulighedsteorem. Gendannet fra: khanacademy.org
7. Wikipedia. Trekantet ulighed. Gendannes fra: es. wikipedia.com