DIAMETER: SYMBOLER OG FORMLER, HVORDAN MAN FÅR DET, OMKREDS - MATEMATIK - 2025

Den diameter er den lige linie, der går gennem centrum af en lukket flad kurve eller et tal i to eller tre dimensioner, og som forbinder også sine modstående punkter. Det er normalt en cirkel (en flad kurve), en cirkel (en flad figur), en kugle eller en højre cirkulær cylinder (tredimensionelle genstande).

Selvom omkreds og cirkel normalt tages som synonymer, er der en forskel mellem de to udtryk. Omkretsen er den lukkede kurve, der omslutter cirklen, som opfylder betingelsen om, at afstanden mellem et af dens punkter og centrum er den samme. Denne afstand er ingen ringere end omkredsens radius. I stedet er cirklen en flad figur afgrænset af omkredsen.

Figur 1. Diameteren af ​​cykelhjul er en vigtig funktion i deres design. Kilde: Pixabay.

I tilfælde af omkreds, cirkel og kugle er diameteren et lige segment, der indeholder mindst tre punkter: midten plus to punkter på kanten af ​​omkredsen eller cirklen eller kuglens overflade.

Og hvad angår den højre cirkulære cylinder, henviser diameteren til tværsnittet, der sammen med højden er dets to karakteristiske parametre.

Diameteren på omkredsen og cirklen, symboliseret med ø eller simpelthen bogstavet "D" eller "d", er relateret til dets omkreds, kontur eller længde, der betegnes med bogstavet L:

L = π.D = π. eller

Hver gang der er en omkreds, er kvoten mellem dens længde og dens diameter det irrationelle tal π = 3.14159…, på denne måde:

π = L / D

Hvordan får man diameteren?

Når du har tegningen af ​​omkredsen eller cirklen, eller direkte det cirkulære objekt, som f.eks. En mønt eller en ring, er det meget let at finde diameteren med en lineal. Du skal bare sørge for, at linealens kant berører to punkter på omkredsen og midten af ​​den på samme tid.

En caliper, vernier eller caliper er meget velegnet til måling af udvendige og indvendige diametre på mønter, bøjler, ringe, møtrikker, rør med mere.

Figur 2. Digital vernier, der måler diameteren på en mønt. Kilde: Pixabay.

Hvis vi i stedet for objektet eller dets tegning har data såsom radius R, så multiplicerer vi med 2, har vi diameteren. Og hvis længden eller omkredsen af ​​omkredsen er kendt, kan diameteren også kendes ved at rydde:

En anden måde at finde diameteren er ved at kende området til cirklen, den sfæriske overflade, tværsnittet af cylinderen, det krumme område af cylinderen eller volumener af kuglen eller cylinderen. Det hele afhænger af, hvilken geometrisk figur det er. For eksempel er diameter involveret i de følgende områder og volumener:

-Area i cirklen: π. (D / 2) ²

-rea på den sfæriske overflade: 4π. (D / 2) ^2-

Volumen af ​​kuglen: (4/3) π. (D / 2) ^3-

Volumen af kuglen højre cirkulær cylinder: π. (D / 2) ^2. H (H er højden på cylinderen)

Figurer med konstant bredde

Cirklen er en flad figur med konstant bredde, da uanset hvor du ser på den, er bredden diameter D. Der er dog andre måske mindre kendte figurer, hvis bredde også er konstant.

Lad os først se, hvad der forstås ved bredden af ​​en figur: det er afstanden mellem to parallelle linjer - understøttelseslinjer - som igen er vinkelret på den givne retning, og som fanger figuren, som vist i det venstre billede:

Figur 3. Bredde på en hvilken som helst flad figur (venstre) og Reuleaux trekant, et tal med konstant bredde (højre). Kilde: F. Zapata.

Ved siden af ​​højre er Reuleaux-trekanten, som er en figur med konstant bredde, og som opfylder betingelsen angivet i venstre figur. Hvis figurens bredde er D, er dens omkreds angivet af Barbier's sætning:

L = π.D

Kloakerne i byen San Francisco i Californien er formet som en Reuleaux-trekant, opkaldt efter den tyske ingeniør Franz Reuleaux (1829 - 1905). På denne måde kan lågene ikke falde gennem hullet, og mindre materiale bruges til at fremstille dem, da deres område er mindre end cirklens areal:

A = (1- √3).πD ² = 0.705.D ²

Mens for en cirkel:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = 0,785. D ²

Men denne trekant er ikke den eneste figur med konstant bredde. Du kan opbygge de såkaldte Reuleaux-polygoner med andre polygoner, der har et ulige antal sider.

Diameter af en omkreds

I den næste figur er cirkelens elementer defineret som følger:

Akkord: linjesegment, der forbinder to punkter på omkredsen. I figuren er akkorden, der forbinder punkterne C og D, men der kan trækkes uendelige akkorder, der forbinder et hvilket som helst par punkter på omkredsen.

Diameter: det er akkorden, der passerer gennem midten, der forbinder to punkter af omkredsen med centrum O. Det er den længste akkord i en omkreds, derfor kaldes det "hovedakkorden".

Radius: linjesegment, der forbinder midten med ethvert punkt på omkredsen. Dets værdi, ligesom diameteren, er konstant.

Omkrets: det er sættet af alle punkter, der er ens fra O.

Bue: det er defineret som et omkreds segment afgrænset af to radier (ikke tegnet i figuren).

Figur 4. Dele af omkredsen, inklusive diameteren, der passerer gennem midten. Kilde: Wikimedia Commons.

- Eksempel 1

Det viste rektangel er 10 tommer højt, som når det rulles ud danner en højre cirkulær cylinder, hvis diameter er 5 tommer. Svar på følgende spørgsmål:

Figur 5. Et rullet rektangel bliver en højre cirkulær cylinder. Kilde: Jiménez, R. Mathematics II. Geometri og trigonometri. 2nd. Edition. Pearson.

a) Hvad er rørets kontur?

b) Find rektanglets område

c) Find cylinderens tværsnitsareal.

Løsning på

Rørets kontur er L = π.D = 5π in = 15,71 in.

Løsning b

Rektanglets område er base x højde, med basis L allerede beregnet, og højden er 10 inches i henhold til udsagnet, derfor:

A = 15,71 i x 10 i = 157,1 i ².

Opløsning c

Endelig beregnes det ønskede område således:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = (π / 4) x (5 in.) ² = 19.63 i. ².

- Eksempel 2

Beregn det skraverede område i figur 5a. Pladsen har side L.

Figur 6. Find det skraverede område i venstre figur. Jiménez, R. Matematik II. Geometri og trigonometri. 2nd. Edition. Pearson.

Løsning

I figur 5b er to halvcirklinger af identisk størrelse tegnet i lyserødt og blåt overlagret på den originale figur. Mellem dem udgør de en komplet cirkel. Hvis du finder kvadratets område og trækker cirkelens område, skal du gøre det skraverede område i figur 5b. Når man ser nøje på, viser det sig, at det er halvdelen af ​​det skraverede område i 5a.

-Kvarterområde: L ²

-Diameter af halvcirkel: L

-Kreds cirkel: π. (L / 2) ² = (π / 4) L ²

-Differens mellem områder = halvdelen af ​​det skraverede område =

L ² - (π / 4) L ² = L ² = 0,2146 L ²

-Shaded område = 2 x 0,2146 L ² = 0.4292L2

Hvor mange diametre har en omkreds?

Du kan tegne uendelige diametre på en cirkel, og enhver af dem måler det samme.

Referencer

1. Antonio. Reuleaux-trekanter og andre kurver med konstant bredde. Gendannes fra: divulgators.com.
2. Baldor, A. 2002. Plane and Space Geometry and Trigonometry. Patria kulturgruppe.
3. Jiménez, R. Matematik II. Geometri og trigonometri. 2nd. Edition. Pearson.
4. Wikipedia. Reuleaux trekant. Gendannet fra: es.wikipedia.org.
5. Wolfram MathWorld. Diameter. Gendannes fra: mathworld.wolfram.com.