FORSKEL PÅ TERNINGER: FORMLER, LIGNINGER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK

Den forskel på terninger er en binomial algebraisk udtryk af formen en ³ - b ³, hvor vilkårene a og b kan være reelle tal eller algebraiske udtryk af forskellige typer. Et eksempel på en forskel på terninger er: 8 - x ³, da 8 kan skrives som 2 ³.

Geometrisk kan vi tænke på en stor terning med side a, hvorfra den lille terning med side b trækkes fra, som illustreret i figur 1:

Figur 1. En forskel på terninger. Kilde: F. Zapata.

Volumenet af det resulterende tal er netop en forskel på terninger:

V = a ³ - b ³

For at finde et alternativt udtryk observeres det, at dette tal kan nedbrydes i tre prismer, som vist nedenfor:

Figur 2. Forskellen på terninger (venstre for ligheden) er lig med summen af de delvise volumener (højre). Kilde: F. Zapata.

Et prisme har et volumen angivet af produktet med dets tre dimensioner: bredde x højde x dybde. På denne måde er den resulterende volumen:

V = a ³ - b ³ = a ^{2. B} + b ³ + ab ²

Faktor b er fælles til højre. I figuren vist ovenfor er det endvidere især sandt, at:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Derfor kan det siges, at: b = a - b. Dermed:

Denne måde at udtrykke forskellen på terninger vil vise sig at være meget nyttig i mange applikationer og ville være opnået på samme måde, selvom siden af den manglende terning i hjørnet var forskellig fra b = a / 2.

Bemærk, at de anden parenteser ligner det bemærkelsesværdige produkt i kvadratet med summen, men krydsbegivenheden multipliceres ikke med 2. Læseren kan udvide højre side for at kontrollere, at der faktisk opnås en ³ - b ³.

eksempler

Der er flere forskelle på terninger:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² og ⁶

(1/125).x ⁶ - 27. y ⁹

Lad os analysere hver enkelt af dem. I det første eksempel kan 1 skrives som 1 = 1 ^3, og udtrykket m ⁶ bliver: (m ²) ³. Begge udtryk er perfekte terninger, derfor er deres forskel:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ²) ³

I det andet eksempel omskrives udtrykkene:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴) ³ (y ²) ³ = (2z ⁴ y ²) ³

Forskellen på disse terninger er: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ²) ³.

Endelig er fraktionen (1/125) (1/5 ³), x ⁶ = (x ²) ³, 27 = 3 ³ og y ⁹ = (y ³) ³. Ved at erstatte alt dette i det originale udtryk får du:

(1/125).x ⁶ - 27 år ⁹ = ³ - (3y ³) ³

Faktorering af en forskel på terninger

At faktorere forskellen på terninger forenkler mange algebraiske operationer. For at gøre dette skal du bare bruge formlen deduceret ovenfor:

Figur 3. Faktorisering af forskellen i terninger og udtryk for en bemærkelsesværdig kvotient. Kilde: F. Zapata.

Proceduren for anvendelse af denne formel består nu af tre trin:

- For det første opnås terningen af hver af forskellens vilkår.

- Derefter konstrueres binomialet og trinomialet, der vises på højre side af formlen.

- Endelig erstattes binomialen og trinomialen for at opnå den endelige faktorisering.

Lad os illustrere brugen af disse trin med hvert af eksemplerne på terningen af forskellen foreslået ovenfor og således opnå dets faktorerede ækvivalent.

Eksempel 1

Faktorér udtrykket 1 - m ^{6 ved at} følge de beskrevne trin. Vi starter med at omskrive udtrykket som 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ²) ^{3 for} at udtrække de respektive terningrødder for hvert udtryk:

Dernæst konstrueres binomialen og trinomialen:

a = 1

b = m ²

Så:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ²) = 1 ² + 1.m ² + (m ²) ² = 1 + m ² + m ⁴

Endelig er det indsættes i formlen en ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ²):

1 - m ⁶ = (1 - m ²) (1 + m ² + m ⁴)

Eksempel 2

faktorisere:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ²) ³

Da dette er perfekte terninger, er terningrødderne øjeblikkelige: a ² b og 2z ⁴ og ², følgelig følger det at:

- Binomial: a ² b - 2z ⁴ og ²

- Trinomial: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ²) ²

Og nu konstrueres den ønskede faktorisering:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ²).

I princippet er factoring klar, men det er ofte nødvendigt at forenkle hvert sigt. Derefter udvikles det bemærkelsesværdige produkt - kvadratet for en sum - der vises i slutningen, og derefter tilføjes lignende termer. Husk, at kvadratet af en sum er:

Det bemærkelsesværdige produkt til højre er udviklet sådan:

(a ² b + 2z ⁴ og ²) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ og ² + 4z ⁸ og ⁴

I stedet for udvidelsen opnået ved faktorisering af forskellen i terninger:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²). =

Endelig grupperer vi lignende termer og faktorerer de numeriske koefficienter, som alle er lige, får vi:

(a ² b - 2z ⁴ y ²). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ²).

Eksempel 3

Factoring (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ er meget lettere end den foregående sag. Først identificeres ækvivalenterne af a og b:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Derefter er de direkte substitueret i formlen:

(1/125).x ⁶ - 27y ⁹ =.

Træning løst

Forskellen på terninger har som sagt mange forskellige anvendelser i Algebra. Lad os se nogle:

Øvelse 1

Løs følgende ligninger:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Løsning på

Først beregnes ligningen på denne måde:

x ² (x ³ - 125) = 0

Da 125 er en perfekt terning, skrives parenteserne som en forskel på terninger:

x ². (x ³ - 5 ³) = 0

Den første løsning er x = 0, men vi finder mere, hvis vi laver x ³ - 5 ³ = 0, så:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Løsning b

Venstre side af ligningen omskrives som 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³. Dermed:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Da eksponenten er den samme:

9x = 4 → x = 9/4

Øvelse 2

Faktor udtrykket:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Løsning

Dette udtryk er en forskel på terninger, hvis vi i factoringformlen bemærker, at:

a = x + y

b = x- y

Derefter konstrueres binomialen først:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

Og nu trinomialet:

en ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Bemærkelsesværdige produkter udvikles:

Derefter skal du erstatte og reducere lignende vilkår:

en ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Factoring resulterer i:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ²)

Referencer

Baldor, A. 1974. Algebra. Redaktionel kulturel Venezolana SA
CK-12 Foundation. Summen og forskellen på terninger. Gendannet fra: ck12.org.
Khan Academy. Factoring af forskelle i terninger. Gendannes fra: es.khanacademy.org.
Matematik er sjov Avanceret. Forskel på to terninger. Gendannes fra: mathsisfun.com
UNAM. Faktorering af en forskel på terninger. Gendannes fra: dcb.fi-c.unam.mx.

FORSKEL PÅ TERNINGER: FORMLER, LIGNINGER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK - 2025