- Formel
- Euklidisk afstand i to dimensioner
- Ikke-euklidiske overflader
- Euklidisk afstand i n dimensioner
- Sådan beregnes den euklidiske afstand
- Eksempel
- Referencer
Den euklidiske afstand er et positivt tal, der indikerer adskillelsen mellem to punkter i et rum, hvor aksiomer og sætninger i Euclids geometri er opfyldt.
Afstanden mellem to punkter A og B i et euklidisk rum er længden af vektoren AB, der hører til den eneste linje, der passerer gennem disse punkter.
Figur 1. En-dimensionelt euklidisk rum dannet af linjen (OX). Flere punkter vises på det nævnte rum, deres koordinater og afstande. (Udarbejdet af Ricardo Pérez).
Det rum, mennesker opfatter, og hvor vi bevæger os, er et tredimensionelt (3-D) rum, hvor aksiomer og sætninger i Euclids geometri er opfyldt. To-dimensionelle underrum (plan) og endimensionelle underrum (linjer) er indeholdt i dette rum.
Euklidiske rum kan være en-dimensionelt (1-D), to-dimensionelt (2-D), tredimensionelt (3-D) eller n-dimensionelt (nD).
Punkter i det endimensionelle rum X er de der hører til den orienterede linje (OX), retningen fra O til X er den positive retning. For at lokalisere punkterne på denne linje bruges det kartesiske system, der består af at tildele et tal til hvert punkt på linjen.
Formel
Den euklidiske afstand d (A, B) mellem punkterne A og B, placeret på en linje, er defineret som kvadratroten af kvadratet af forskellene i deres X-koordinater:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Denne definition garanterer, at: afstanden mellem to punkter altid er en positiv mængde. Og at afstanden mellem A og B er lig med afstanden mellem B og A.
Figur 1 viser det endimensionale euklidiske rum dannet af linjen (OX) og flere punkter på linjen. Hvert punkt har en koordinat:
Punkt A har koordinat XA = 2.5, punkt B koordinat XB = 4 og punkt C koordinat XC = -2.5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Euklidisk afstand i to dimensioner
To-dimensionelt euklidisk rum er et plan. Punkterne på et euklidisk plan opfylder aksiomerne i den euklidiske geometri, for eksempel:
- En enkelt linje passerer gennem to punkter.
- Tre punkter på planet danner en trekant, hvis indre vinkler altid lægger sig op til 180º.
- I en højre trekant er kvadratet på hypotenusen lig med summen af kvadraterne på dens ben.
I to dimensioner har et punkt X- og Y-koordinater.
For eksempel har et punkt P koordinater (XP, YP) og et punkt Q-koordinater (XQ, YQ).
Den euklidiske afstand mellem punkt P og Q er defineret med følgende formel:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Det skal bemærkes, at denne formel er ækvivalent med Pythagorean-sætningen, som vist i figur 2.
Figur 2. Afstanden mellem to punkter P og Q i planet opfylder Pythagoras sætning. (Udarbejdet af Ricardo Pérez).
Ikke-euklidiske overflader
Ikke alle to-dimensionelle rum er i overensstemmelse med den euklidiske geometri. Overfladen på en kugle er et to-dimensionelt rum.
Vinklerne på en trekant på en sfærisk overflade tilføjes ikke 180 °, og med dette opfyldes ikke Pythagoras sætning, derfor opfylder en sfærisk overflade ikke Euclids aksiomer.
Euklidisk afstand i n dimensioner
Begrebet koordinater kan udvides til større dimensioner:
- I 2-D punkt P har koordinater (XP, YP)
- I 3-D har et punkt Q koordinater (XQ, YQ, ZQ)
- I 4-D vil punktet R have koordinater (XR, YR, ZR, WR)
- I nD vil et punkt P have koordinater (P1, P2, P3,….., Pn)
Afstanden mellem to punkter P og Q i et n-dimensionelt euklidisk rum beregnes med følgende formel:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …….. + (Qn - Pn) ^ 2)
Lokaliseringen af alle punkter Q i et n-dimensionelt euklidisk rum, der er ekvistentant fra et andet fast punkt P (midten), danner en n-dimensionel hypersfære.
Sådan beregnes den euklidiske afstand
Følgende viser, hvordan afstanden mellem to punkter placeret i det euklidiske tredimensionelle rum beregnes.
Antag, at punkt A i kartesiske koordinater x, y, z er givet af A:(2, 3, 1) og punkt B i koordinaterne B:(-3, 2, 2).
Vi ønsker at bestemme afstanden mellem disse punkter, som der bruges til det generelle forhold:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2)
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5196
Eksempel
Der er to punkter P og Q. Punktet P for kartesiske koordinater x, y, z angivet af P:(2, 3, 1) og punktet Q for koordinaterne Q:(-3, 2, 1).
Det anmodes om at finde koordinaterne for midtpunktet M i segmentet, der forbinder de to punkter.
Det ukendte punkt M antages at have koordinater (X, Y, Z).
Da M er midtpunktet i, skal det være sandt, at d (P, M) = d (Q, M), så d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 også skal være sandt:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Som i dette tilfælde er den tredje periode lig i begge medlemmer, det forrige udtryk forenkles til:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Vi har derefter en ligning med to ukendte X og Y. En anden ligning er påkrævet for at løse problemet.
Punkt M hører til linjen, der passerer gennem punkterne P og Q, som vi kan beregne som følger:
Først finder vi linjens vektorvektor PQ: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Derefter PM = OP + a PQ, hvor OP er positionsvektoren for punktet P og er en parameter, der hører til de reelle tal.
Ovenstående ligning er kendt som vektorligningen af linjen, som i kartesiske koordinater har følgende form:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Tilsvarende de tilsvarende komponenter, vi har:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3-a; Z - 1 = 0
Det vil sige X = 4 - 5a, Y = 6 - a, til sidst Z = 1.
Det er substitueret i det kvadratiske udtryk, der relaterer X til Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Det er forenklet:
(2 - 5a) ^ 2 + (3-a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Udfolder sig nu:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Det er forenklet og annullerer lignende vilkår i begge medlemmer:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Parameteren a ryddes:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 resulterende i a = 1.
Det vil sige X = 4 - 5, Y = 6 - 1, endelig Z = 1.
Endelig opnår vi de kartesiske koordinater for segmentets midtpunkt M:
M: (-1, 5, 1).
Referencer
- Lehmann C. (1972) Analytisk geometri. UTEHA.
- Superprof. Afstand mellem to punkter. Gendannes fra: superprof.es
- UNAM. Afstand mellem affine sublinære manifolder. Gendannet fra: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Euklidisk afstand. Gendannet fra: es.wikipedia.com
- wikipedia. Euklidisk rum. Gendannet fra: es.wikipedia.com