DISKRETE SANDSYNLIGHEDSFORDELINGER: EGENSKABER, ØVELSER - MATEMATIK - 2025

De diskrete sandsynlighedsfordelinger er en funktion, der tildeler hvert element af X (S) = {x1, x2,…, xi,…}, hvor X er en diskret tilfældig variabel, der er givet, og S er prøveområdet, sandsynligheden for, at nævnte begivenhed forekommer. Denne funktion f af X (S) defineret som f (xi) = P (X = xi) kaldes undertiden sandsynlighedsmassefunktionen.

Denne masse sandsynligheder er generelt repræsenteret i tabelform. Da X er en diskret tilfældig variabel, har X (S) et begrænset antal begivenheder eller tællelig uendelig. Blandt de mest almindelige diskrete sandsynlighedsfordelinger har vi den ensartede fordeling, binomialfordelingen og Poisson-fordelingen.

egenskaber

Sandsynlighedsfordelingsfunktionen skal opfylde følgende betingelser:

Yderligere, hvis X kun tager et endeligt antal værdier (for eksempel x1, x2,…, xn), så p (xi) = 0, hvis i> ny, derfor bliver den uendelige række betingelse b en endelig serie.

Denne funktion opfylder også følgende egenskaber:

Lad B være en begivenhed, der er knyttet til den tilfældige variabel X. Dette betyder, at B er indeholdt i X (S). Antag specifikt, at B = {xi1, xi2,…}. Dermed:

Med andre ord er sandsynligheden for en hændelse B lig med summen af ​​sandsynligheden for de individuelle udfald, der er forbundet med B.

Herfra kan vi konkludere, at hvis a <b, begivenhederne (X ≤ a) og (a <X ≤ b) er indbyrdes eksklusive, og desuden er deres forening begivenheden (X ≤ b), så vi har:

typer

Ensartet fordeling over n punkter

Det siges, at en tilfældig variabel X følger en fordeling karakteriseret ved at være ensartet på n punkter, hvis hver værdi tildeles den samme sandsynlighed. Dets sandsynlighedsmassefunktion er:

Antag, at vi har et eksperiment, der har to mulige resultater, det kan være kastet af en mønt, hvis mulige resultater er hoveder eller haler, eller valget af et helt tal, hvis resultat kan være et jævnt tal eller et ulige; denne type eksperiment kaldes Bernoulli-test.

Generelt kaldes de to mulige resultater succes og fiasko, hvor p er sandsynligheden for succes og 1-p er sandsynligheden for fiasko. Vi kan bestemme sandsynligheden for x-succeser i n Bernoulli-test, der er uafhængige af hinanden med følgende distribution.

Binomial distribution

Det er den funktion, der repræsenterer sandsynligheden for at opnå x succeser i n uafhængige Bernoulli-test, hvis sandsynlighed for succes er p. Dets sandsynlighedsmassefunktion er:

Den følgende graf repræsenterer sandsynlighedsmassefunktionen for forskellige værdier for parametrene for den binomielle fordeling.

Følgende distribution skylder sit navn til den franske matematiker Simeon Poisson (1781-1840), der opnåede det som grænsen for den binomiale distribution.

Poisson distribution

En tilfældig variabel X siges at have en Poisson-fordeling af parameter λ, når den kan tage de positive heltalværdier 0,1,2,3,… med følgende sandsynlighed:

I dette udtryk er λ det gennemsnitlige antal, der svarer til begivenhederne i begivenheden for hver tidsenhed, og x er antallet af gange begivenheden finder sted.

Dets sandsynlighedsmassefunktion er:

Her er en graf, der repræsenterer sandsynlighedsmassefunktionen for forskellige værdier af parametrene for Poisson-fordelingen.

Bemærk, at så længe antallet af succeser er lavt, og antallet n af tests, der udføres på en binomial distribution, kan vi altid tilnærme dig disse distributioner, da Poisson-fordelingen er grænsen for den binomiale distribution.

Den største forskel mellem disse to fordelinger er, at selvom binomialet afhænger af to parametre, nemlig n og p, afhænger Poisson kun af λ, som undertiden kaldes intensiteten af ​​fordelingen.

Indtil videre har vi kun talt om sandsynlighedsfordelinger i tilfælde, hvor de forskellige eksperimenter er uafhængige af hinanden; det vil sige, når resultatet af en ikke påvirkes af et andet resultat.

Når det forekommer at have eksperimenter, der ikke er uafhængige, er den hypergeometriske fordeling meget nyttig.

Hypergeometrisk fordeling

Lad N være det samlede antal objekter i et endeligt sæt, hvor vi kan identificere k af disse på en eller anden måde og således danne en undergruppe K, hvis komplement dannes af de resterende Nk-elementer.

Hvis vi tilfældigt vælger n objekter, har den tilfældige variabel X, der repræsenterer antallet af objekter, der hører til K i nævnte valg, en hypergeometrisk fordeling af parametrene N, n og k. Dets sandsynlighedsmassefunktion er:

Den følgende graf repræsenterer sandsynlighedsmassefunktionen for forskellige værdier for parametrene for den hypergeometriske fordeling.

Løst øvelser

Første øvelse

Antag, at sandsynligheden for, at et radiorør (placeret i en bestemt type udstyr) fungerer i mere end 500 timer, er 0,2. Hvis 20 rør testes, hvad er sandsynligheden for, at nøjagtigt k af disse kører i mere end 500 timer, k = 0, 1,2,…, 20?

Løsning

Hvis X er antallet af rør, der arbejder mere end 500 timer, antager vi, at X har en binomial fordeling. Så

Også:

For k≥11 er sandsynlighederne mindre end 0,001

Således kan vi se, hvordan sandsynligheden for at k af disse arbejder i mere end 500 timer stiger, indtil den når sin maksimale værdi (med k = 4) og derefter begynder at falde.

Anden øvelse

En mønt kastes 6 gange. Når resultatet er dyrt, vil vi sige, at det er en succes. Hvad er sandsynligheden for, at to hoveder kommer op nøjagtigt?

Løsning

I dette tilfælde har vi, at n = 6, og både sandsynligheden for succes og fiasko er p = q = 1/2

Derfor er sandsynligheden for, at der gives to hoveder (det vil sige k = 2)

Tredje øvelse

Hvad er sandsynligheden for at finde mindst fire hoveder?

Løsning

I dette tilfælde har vi den k = 4, 5 eller 6

Tredje øvelse

Antag, at 2% af de varer, der er produceret på en fabrik, er defekte. Find sandsynligheden for, at der er tre defekte elementer i en prøve på 100 genstande.

Løsning

I dette tilfælde kunne vi anvende binomialfordelingen for n = 100 og p = 0,02 opnåelse som et resultat:

Da p er lille, bruger vi imidlertid Poisson-tilnærmelsen med λ = np = 2. Så,

Referencer

1. Kai Lai Chung. Elementær praktisk teori med stokastiske processer. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, diskret matematik og dens applikationer. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Sandsynlighed og statistiske anvendelser. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 løste problemer med diskret matematik. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori og sandsynlighedsproblemer. McGraw-Hill.