DOMÆNE OG KONTRADOMÆNE FOR EN FUNKTION (MED EKSEMPLER) - MATEMATIK - 2025

Begreberne domæne og moddomæne for en funktion undervises almindeligvis i beregningskurser, der undervises i begyndelsen af ​​universitetsgrader.

Før du definerer domænet og kontradomænet, skal du vide, hvad en funktion er. En funktion f er en lov (regel) om korrespondance foretaget mellem elementerne i to sæt.

Sættet, hvorfra elementerne vælges, kaldes funktionens domæne, og det sæt, som disse elementer sendes gennem f, kaldes moddomænet.

I matematik betegnes en funktion med domæne A og moddomæne B med udtrykket f: A → B.

Det forrige udtryk siger, at elementerne i sæt A sendes til sæt B efter korrespondencesloven f.

En funktion tildeler hvert element i sæt A et enkelt element i sæt B.

Domæne og kontradomæne

Givet en reel funktion af en reel variabel f ​​(x) har vi, at funktionen domæne vil være alle disse reelle tal, således at resultatet, når det vurderes i f, er et reelt tal.

Generelt er moddomænet for en funktion sættet med reelle tal R. Moddomænet kaldes også ankomstsæt eller kodomæne for funktionen f.

Er kontradomenet til en funktion altid R?

Nej. Så længe funktionen ikke studeres i detaljer, tages sættet med reelle tal R normalt som et moddomæne.

Men når funktionen er undersøgt, kan et mere passende sæt tages som et moddomæne, som vil være en undergruppe af R.

Det rigtige sæt, der blev nævnt i det foregående afsnit, matcher billedet af funktionen.

Definitionen af ​​billedet eller området for en funktion f henviser til alle de værdier, der kommer fra evaluering af et element af domænet i f.

eksempler

De følgende eksempler illustrerer, hvordan man beregner domænet for en funktion og dens billede.

Eksempel 1

Lad f være en reel funktion defineret af f (x) = 2.

Domænet for f er alle reelle tal, således at resultatet, når det vurderes ved f, er et reelt tal. Kontradomænet for øjeblikket er lig med R.

Da den givne funktion er konstant (altid lig med 2), betyder det ikke noget, hvilket reelt tal der vælges, da resultatet af vurderingen til f altid vil være lig med 2, hvilket er et reelt tal.

Derfor er domænet for den givne funktion alle reelle tal; det vil sige A = R.

Nu hvor det vides, at resultatet af funktionen altid er lig med 2, har vi, at billedet af funktionen kun er nummer 2, derfor kan funktionens moddomæne omdefineres som B = Img (f) = {to}.

Derfor er f: R → {2}.

Eksempel 2

Lad g være en reel funktion defineret af g (x) = √x.

Så længe billedet af g ikke er kendt, er kontradomænet af g B = R.

Med denne funktion skal det tages i betragtning, at kvadratrødderne kun er defineret for ikke-negative tal; det vil sige for tal større end eller lig med nul. For eksempel er √-1 ikke et reelt tal.

Derfor skal domænet for funktionen g være alle tal større end eller lig med nul; det vil sige x ≥ 0.

Derfor er A = [0, + ∞).

For at beregne området skal det bemærkes, at ethvert resultat af g (x), fordi det er en firkantet rod, altid vil være større end eller lig med nul. Det vil sige B = [0, + ∞).

Afslutningsvis g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Eksempel 3

Hvis vi har funktionen h (x) = 1 / (x-1), har vi, at denne funktion ikke er defineret for x = 1, da nævneren ville opnå nul og inddelingen med nul ikke er defineret.

På den anden side vil resultatet for enhver anden reel værdi være et reelt tal. Derfor er domænet alle realer undtagen et; det vil sige A = R {1}.

På samme måde kan det observeres, at den eneste værdi, der ikke kan opnås som et resultat, er 0, for at en brøkdel skal være lig med nul, skal tælleren være nul.

Derfor er billedet af funktionen sættet af alle realer undtagen nul, så B = R {0} betragtes som et kontradomæne.

Afslutningsvis: h: R {1} → R {0}.

Observationer

Domænet og billedet behøver ikke at være det samme sæt, som demonstreret i eksemplerne 1 og 3.

Når en funktion er tegnet i kartesisk plan, er domænet repræsenteret af X-aksen, og moddomænet eller området er repræsenteret af Y-aksen.

Referencer

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Matematik. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematik: en problemløsende tilgang (2, Illustreret red.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Uddannelse.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 udg.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Plananalytisk geometri. Mérida - Venezuela: Redaktionel Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Forkalkulation. Pearson Uddannelse.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (9. udgave). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentialberegning med tidlige transcendente funktioner til videnskab og teknik (Anden udgave red.). Hypotenusen.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (genoptrykt red.). Lynkilde.
10. Sullivan, M. (1997). Forkalkulation. Pearson Uddannelse.