POLYNOM LIGNINGER (MED ØVELSER LØST) - MATEMATIK - 2025

De polynomiske ligninger er en erklæring, der hæver ligheden mellem to udtryk eller medlemmer, hvor den mindst ene af de udtryk, der udgør hver side af lighed, er polynomer P (x). Disse ligninger kaldes i henhold til graden af ​​deres variabler.

Generelt er en ligning en erklæring, der fastlægger ligheden mellem to udtryk, hvor der i mindst en af ​​disse er ukendte mængder, der kaldes variabler eller ukendte. Selvom der er mange typer ligninger, klassificeres de generelt i to typer: algebraisk og transcendent.

Polynomiske ligninger indeholder kun algebraiske udtryk, der kan have en eller flere ukendte involveret i ligningen. I henhold til den eksponent (grad), de har, kan de klassificeres i: første grad (lineær), anden grad (kvadratisk), tredje grad (kubik), fjerde grad (kvart), grad større end eller lig med fem og irrationel.

egenskaber

Polynomiske ligninger er udtryk, der dannes ved en lighed mellem to polynomer; det vil sige med de begrænsede summer af multiplikationer mellem værdier, der er ukendte (variabler) og faste tal (koefficienter), hvor variablerne kan have eksponenter, og deres værdi kan være et positivt heltal inklusive nul.

Eksponenterne bestemmer graden eller typen af ​​ligning. Udtrykket i udtrykket med den højeste eksponent repræsenterer den absolutte grad af polynomet.

Polynomiske ligninger er også kendt som algebraiske ligninger, deres koefficienter kan være reelle eller komplekse tal, og variablerne er ukendte tal repræsenteret med et bogstav, såsom: "x".

Hvis der erstattes en værdi med variablen "x" i P (x), er resultatet lig med nul (0), siges denne værdi at tilfredsstille ligningen (det er en løsning), og det kaldes generelt roden til polynomet.

Når du udvikler en polynom ligning, ønsker du at finde alle rødder eller løsninger.

typer

Der er flere typer af polynom ligninger, der er differentieret i henhold til antallet af variabler og også efter graden af ​​deres eksponent.

Således er de polynomiske ligninger - hvor dets første udtryk er et polynomium, der har en enkelt ukendt, i betragtning af at dens grad kan være et hvilket som helst naturligt tal (n) og det andet udtryk er nul-, kan udtrykkes som følger:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Hvor:

- a _n, a _n-1 og ₀ er reelle koefficienter (tal).

- a _n er forskellig fra nul.

- Eksponenten n er et positivt heltal, der repræsenterer ligningen.

- x er den variabel eller ukendt, der skal søges på.

Den absolutte eller større grad af en polynom ligning er eksponenten med den højeste værdi blandt alle dem, der danner polynomet; ligningerne klassificeres således som:

Første klasse

Polynom ligningerne i første grad, også kendt som lineære ligninger, er dem, hvor graden (den største eksponent) er lig med 1, polynomet har formen P (x) = 0; y er sammensat af en lineær term og en uafhængig. Det skrives som følger:

øks + b = 0.

Hvor:

- a og b er reelle tal og en ≠ 0.

- øks er det lineære udtryk.

- b er det uafhængige udtryk.

For eksempel er ligningen 13x - 18 = 4x.

For at løse lineære ligninger skal alle udtryk, der indeholder det ukendte x, sendes til den ene side af ligheden, og dem, der ikke har, flytter de til den anden side for at løse det og få en løsning:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Således har den givne ligning kun en løsning eller rod, der er x = 2.

Anden klasse

Anden grad polynom ligninger, også kendt som kvadratiske ligninger, er dem, hvor graden (den største eksponent) er lig med 2, polynomet er af formen P (x) = 0, og er sammensat af et kvadratisk udtryk, en lineær og en uafhængig. Det udtrykkes som følger:

øks ² + bx + c = 0.

Hvor:

- a, b og c er reelle tal og en ≠ 0.

- øks ² er det kvadratiske udtryk, og "a" er den kvadratiske terms koefficient.

- bx er det lineære udtryk, og "b" er koefficienten for det lineære udtryk.

- c er det uafhængige udtryk.

opløsningsmiddel

Generelt gives løsningen på denne type ligninger ved at rydde x fra ligningen, og det er som følger, der kaldes opløsning:

Der kaldes (b ² - 4ac) forskelsbehandlingen af ​​ligningen, og dette udtryk bestemmer antallet af løsninger, ligningen kan have:

- Hvis (b ² - 4ac) = 0, vil ligningen have en enkelt opløsning, der er dobbelt; det vil sige, at det har to lige store løsninger.

- Hvis (b ² - 4ac)> 0, vil ligningen have to forskellige reelle løsninger.

- Hvis (b ² - 4ac) <0, har ligningen ingen løsning (den vil have to forskellige komplekse opløsninger).

For eksempel har vi ligningen 4x ² + 10x - 6 = 0, for at løse den først identificere udtrykkene a, b og c og derefter erstatte den i formlen:

a = 4

b = 10

c = -6.

Der er tilfælde, hvor polynomekvivalenterne i anden grad ikke har alle tre udtryk, og det er derfor, de løses forskelligt:

- I tilfælde af at de kvadratiske ligninger ikke har den lineære udtryk (det vil sige b = 0), udtrykkes ligningen som aks ² + c = 0. For at løse det, skal du løse for x ² og anvende kvadratrødderne i hvert element, husk at de to mulige tegn, som den ukendte kan have, skal overvejes:

øks ² + c = 0.

x ² = - c ÷ a

For eksempel 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- Når den kvadratiske ligning ikke har et uafhængigt udtryk (det vil sige c = 0), udtrykkes ligningen som aks ² + bx = 0. For at løse den skal den fælles faktor for det ukendte x tages i det første medlem; Da ligningen er lig med nul, er det rigtigt, at mindst en af ​​faktorerne vil være lig med 0:

øks ² + bx = 0.

x (aks + b) = 0.

Således skal du:

x = 0.

x = -b ÷ a.

For eksempel: vi har ligningen 5x ² + 30x = 0. Først faktorer vi:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Der genereres to faktorer, der er xy (5x + 30). Det anses for, at en af ​​disse vil være lig med nul, og den anden er løst:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Højeste karakter

Polynomiske ligninger af højere grad er dem, der går fra den tredje grad og fremover, som kan udtrykkes eller løses med den generelle polynom ligning for enhver grad:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Dette bruges, fordi en ligning med en grad større end to er resultatet af faktorering af et polynom; det vil sige, det udtrykkes som multiplikation af polynomer i grad en eller mere, men uden reelle rødder.

Opløsningen af ​​disse typer ligninger er direkte, fordi multiplikationen af ​​to faktorer vil være lig med nul, hvis en af ​​faktorerne er null (0); derfor skal hver af de fundne polynom ligninger løses, idet hver af deres faktorer indstilles til nul.

For eksempel har vi den tredje grads ligning (kubik) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. For at løse det skal følgende trin følges:

- Vilkårene er samlet:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ²) + (4x + 4) = 0.

- Medlemmerne nedbrydes for at få den fælles faktor til det ukendte:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- På denne måde opnås to faktorer, som skal være lig med nul:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Det kan ses, at faktoren (x ² + 4) = 0 ikke vil have en reel løsning, mens faktoren (x + 1) = 0 gør. Så løsningen er:

(x + 1) = 0

x = -1.

Løst øvelser

Løs følgende ligninger:

Første øvelse

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Løsning

I dette tilfælde udtrykkes ligningen som multiplikation af polynomer; det er, at det er beregnet. For at løse det skal hver faktor indstilles lig med nul:

- 2x ² + 5 = 0, det har ingen løsning.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Den givne ligning har således to opløsninger: x = 3 og x = -1.

Anden øvelse

x ⁴ - 36 = 0.

Løsning

Der blev givet et polynomium, som kan omskrives som en forskel på firkanter for at nå frem til en hurtigere løsning. Ligningen er således:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

For at finde løsningen af ​​ligningerne indstilles begge faktorer lig med nul:

(x ² + 6) = 0, det har ingen løsning.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± √6.

Den oprindelige ligning har således to løsninger:

x = √6.

x = - √6.

Referencer

1. Andres, T. (2010). Matematisk Olympiad Tresure. Springer. New York.
2. Angel, AR (2007). Elementær algebra. Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineær algebra og projektiv geometri. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultur.
5. Castaño, HF (2005). Matematik inden beregning. University of Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Olympisk forberedelse Matematik Manual. Jaume I. Universitet
7. Kreemly Pérez, ML (1984). Højere algebra I.
8. Massara, NC-L. (nitten femoghalvfems). Matematik 3.