ENEAGON: EGENSKABER, HVORDAN MAN LAVER EN ENEAGON, EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

En enegon er en polygon med ni sider og ni hjørner, som måske ikke er regelmæssige. Navnet eneágono kommer fra det græske og består af de græske ord ennea (ni) og gonon (vinkel).

Et alternativt navn for den ni-sidede polygon er nonagon, der kommer fra det latinske ord nonus (ni) og gonon (toppunkt). På den anden side, hvis siderne eller vinklerne af eneagon er ulige med hinanden, så har du en uregelmæssig eneagon. Hvis derimod alle ni sider og ni vinkler på eneagon er ens, er det en almindelig eneagon.

Figur 1. Regelmæssig eneagon og uregelmæssig eneagon. (Egen uddybning)

Eneagons egenskaber

For en polygon med n sider er summen af ​​dets indvendige vinkler:

(n - 2) * 180º

I enegon ville det være n = 9, så summen af ​​dens indre vinkler er:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

I en hvilken som helst polygon er antallet af diagonaler:

D = n (n - 3) / 2 og for enegon, da n = 9, så har vi D = 27.

Regelmæssig enegon

I den normale eneagon eller nonagon er der ni (9) indre vinkler af samme mål, derfor måler hver vinkel en niendedel af den samlede sum af de indre vinkler.

Målet for en enegons indre vinkler er derefter 1260º / 9 = 140º.

Figur 2. Apothem, radius, sider, vinkler og hjørner på en almindelig eneagon. (Egen uddybning)

For at udlede formlen for området med en regelmæssig enegon med side d er det praktisk at lave nogle hjælpekonstruktioner, såsom dem, der er vist i figur 2.

Centrum O findes ved at spore bisektorerne på to tilstødende sider. Centrum O ækvidistant fra toppunktet.

En radius med længde r er segmentet fra centrum O til en vertex af enegon. Figur 2 viser radierne OD og OE med længden r.

Apotemet er det segment, der går fra centrum til midtpunktet på den ene side af enegon. For eksempel er EUT en apotem, hvis længde er en.

Område med en enegon kendt side og apotem

Vi betragter trekanten ODE i figur 2. Området med denne trekant er produktet fra dens base DE og højden OJ divideret med 2:

ODE-område = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Da der er 9 trekanter med lige stort areal i enegonet, konkluderes det, at området med det samme er:

Enegon-område = (9/2) (d * a)

Område med en kendt enegon på siden

Hvis kun længden d på siderne af enegonet er kendt, er det nødvendigt at finde længden på apotemet for at anvende formlen i det foregående afsnit.

Vi betragter den rigtige trekant OJE i J (se figur 2). Hvis tangent trigonometrisk forhold anvendes, får vi:

tan (∡ OEJ) = EUT / EJ.

Vinklen ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, da EO er halveringslinjen af ​​enegonets indvendige vinkel.

På den anden side er EUT apotemet med længde a.

Da J er midtpunktet for ED, følger det, at EJ = d / 2.

Udskiftning af de foregående værdier i tangentforholdet, vi har:

brunfarve (70º) = a / (d / 2).

Nu rydder vi længden på apoten:

a = (d / 2) brunfarve (70º).

Det foregående resultat er substitueret i områdeformlen for at opnå:

Område af enegon = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) solbrun (70º))

Endelig finder vi den formel, der tillader opnåelse af arealet af den regulære enegon, hvis kun længden d på dens sider er kendt:

Område af enegon = (9/4) d ² tan (70º) = 6.1818 d ²

Omkrets af regelmæssig enegon kendt sin side

Polygons omkreds er summen af ​​dens sider. I tilfælde af enegon, da hver af siderne måler en længde d, vil dens omkreds være summen af ​​ni gange d, det vil sige:

Omkrets = 9 d

Omkretsen af ​​enegonet kendte dens radius

I betragtning af den rigtige trekant OJE i J (se figur 2) anvendes det trigonometriske kosinusforhold:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Hvor fås det fra:

d = 2r cos (70º)

Ved at erstatte dette resultat får vi formlen for omkredsen som funktion af enegonets radius:

Omkrets = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Sådan opretter du en regelmæssig tilmelding

1- For at bygge en almindelig eneagon med en lineal og et kompas skal du starte fra omkredsen c, der omskriver eneagon. (se figur 3)

2- To lodrette linjer trækkes gennem omkredsens centrum O. Derefter markeres krydsene A og B på en af ​​linjerne med omkredsen.

3- Med kompasset, centreret ved afskærmningen B og åbningen lig med radius BO, tegnes en bue, der opfanger den oprindelige omkreds på et punkt C.

Figur 3. Trin til at oprette en regelmæssig enegon. (Egen uddybning)

4- Det forrige trin gentages, men ved at skabe et centrum ved A og radius AO, tegnes en bue, der afskærer omkredsen c ved punkt E.

5- Med åbning af vekselstrøm og center i A tegnes en omkredsbue. Tilsvarende med åbning af BE og centrum B tegnes en anden bue. Skæringspunktet mellem disse to buer er markeret som punkt G.

6- Centrering ved G og åbning af GA tegnes en bue, der afskærer den sekundære akse (vandret i dette tilfælde) ved punkt H. Skæringen mellem den sekundære akse og den originale omkreds c er markeret som I.

7- Længden af ​​segmentet IH er lig med længden d på siden af ​​enegon.

8- Med kompasåbning IH = d, tegnes buerne i centrum A radius AJ, center J radius AK, center K radius KL og center L radius LP successivt.

9- Tilsvarende, startende fra A og fra højre side, tegnes buer med radius IH = d, der markerer punkterne M, N, C og Q på den oprindelige omkreds c.

10- Endelig tegnes segmenterne AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ og endelig PB.

Det skal bemærkes, at konstruktionsmetoden ikke er helt nøjagtig, da det kan verificeres, at den sidste side PB er 0,7% længere end de andre sider. Til dato er der ingen kendt konstruktionsmetode med en lineal og kompas, der er 100% nøjagtig.

eksempler

Her er nogle udarbejdede eksempler.

Eksempel 1

Vi vil opbygge en regelmæssig enegon, hvis sider måler 2 cm. Hvilken radius skal have den omkreds, der omskriver den, så ved at anvende den tidligere beskrevne konstruktion opnås det ønskede resultat?

I et tidligere afsnit blev formlen, der relaterer radius r for den omskrevne cirkel med siden d af en almindelig enegon, udledt:

d = 2r cos (70º)

Løsning for r fra det forrige udtryk, vi har:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

Ved at udskifte værdien d = 2 cm i den foregående formel giver en radius r på 2,92 cm.

Eksempel 2

Hvad er området for en almindelig enegon med en side 2 cm?

For at besvare dette spørgsmål skal vi henvise til den tidligere viste formel, der giver os mulighed for at finde området for en kendt enegon ved længden d på dens side:

Område af enegon = (9/4) d ² tan (70º) = 6.1818 d ²

Ved at erstatte d for dens værdi på 2 cm i den forrige formel, får vi:

Eneagon-område = 24,72 cm

Referencer

1. CEA (2003). Geometrielementer: med øvelser og kompassgeometri. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Redaktionel Patria.
3. Freed, K. (2007). Oplev polygoner. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generaliserede polygoner. Birkhäuser.
5. Iger. (Sf). Matematik Første semester Tacaná. Iger.
6. Jr. geometri. (2014). Polygoner. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heerenveen og Hornsby. (2006). Matematik: Begrundelse og applikationer (tiende udgave). Pearson Uddannelse.
8. Patiño, M. (2006). Matematik 5. Redaktionel Progreso.