Et vektorrum er et ikke-fritagende sæt V = { u, v, w, ……}, hvis elementer er vektorer. Nogle vigtige operationer udføres sammen med dem, hvoraf følgende skiller sig ud:

- Sum mellem to vektorer u + v resulterende z, som hører til den indstillede V.

- multiplikation af et reelt tal α med en vektor v: α v giver en anden vektor og tilhører V.

Kunstnerisk vision af et vektorrum. Kilde: Pixabay

For at betegne en vektor bruger vi fed (v er en vektor), og til skalarer eller tal græske bogstaver (α er et tal).

Aksiomer og egenskaber

For at der kan gives et vektorrum skal de følgende otte aksiomer have:

1-kommutabilitet: u + v = v + u

2-transitivitet: (u + v) + w = u + (v + w)

3-Eksistens af nullvektoren 0 således at 0 + v = v

4-Eksistens af det modsatte: det modsatte af v er (- v), da v + (- v) = 0

5-Fordeling af produktet med hensyn til vektorsummen: α (u + v) = α u + α v

6-Distributivitet af produktet med hensyn til den skalære sum: (α + β) v = α v + β v

7-Associativitet af skalarproduktet: α (β v) = (α β) v

8-Nummeret 1 er det neutrale element siden: 1 v = v

Eksempler på vektorrum

Eksempel 1

Vektorer i (R²) -planet er et eksempel på et vektorrum. En vektor i planet er et geometrisk objekt, der har størrelse og retning. Det er repræsenteret af et orienteret segment, der hører til nævnte plan og med en størrelse, der er proportional med dens størrelse.

Summen af ​​to vektorer i planet kan defineres som den geometriske translationsoperation af den anden vektor efter den første. Resultatet af summen er det orienterede segment, der starter fra oprindelsen af ​​det første og når spidsen af ​​det andet.

I figuren kan det ses, at summen i R² er kommutativ.

Figur 2. Vektorer i planet danner vektorrum. Kilde: self made.

Produktet af et tal a og en vektor er også defineret. Hvis antallet er positivt, holdes retningen på den originale vektor, og størrelsen er α gange den originale vektor. Hvis tallet er negativt, er retningen modsat, og størrelsen på den resulterende vektor er den absolutte værdi af tallet.

Vektoren overfor enhver vektor v er - v = (- 1) v.

Nullvektoren er et punkt i R²-planet, og antallet nul gange en vektor giver nullvektoren.

Alt hvad der er sagt er illustreret i figur 2.

Eksempel 2

Sættet P for alle polynomier i grad mindre end eller lig med to, inklusive grad nul, danner et sæt, der tilfredsstiller alle aksiomer i et vektorrum.

Lad polynomet P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Summen af ​​to polynomer defineres: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Summen af ​​polynomer, der hører til sættet P, er kommutative og transitive.

Nollpolynomet, der hører til sættet P, er en, der har alle dens koefficienter lig med nul:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Summen af ​​en skalær α med et polynom defineres som: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Det modsatte polynom af P (x) er -P (x) = (-1) P (x).

Fra alt det ovenstående følger det, at sættet P for alle polynomer i grad mindre end eller lig med to er et vektorrum.

Eksempel 3

Sættet M for alle matrixer af m rækker xn-søjler, hvis elementer er reelle tal, danner et reelt vektorrum med hensyn til operationerne med tilføjelse af matrixer og produkt af et tal ved hjælp af en matrix.

Eksempel 4

Sættet F af kontinuerlige funktioner af reel variabel danner et vektorrum, da det er muligt at definere summen af ​​to funktioner, multiplikationen af ​​en skalar med en funktion, nullfunktionen og den symmetriske funktion. De opfylder også de aksiomer, der kendetegner et vektorrum.

Basis og dimension af et vektorrum

Grundlag

Basen i et vektorrum er defineret som et sæt lineært uafhængige vektorer, således at fra en lineær kombination af dem kan en hvilken som helst vektor af dette vektorrum genereres.

Lineær kombination af to eller flere vektorer består af at multiplicere vektorerne med en vis skalar og derefter tilføje dem vektorielt.

For eksempel anvendes i vektorrummet af vektorer i tre dimensioner dannet af R3, det kanoniske grundlag, der er defineret af enhedsvektorerne (med styrke 1) i, j, k.

Hvor i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Dette er de kartesiske eller kanoniske vektorer.

Enhver vektor V, der hører til R3, er skrevet som V = a i + b j + c k, som er en lineær kombination af basisvektorerne i, j, k. En skalar eller tal a, b, c er kendt som kartesiske komponenter af V.

Det siges også, at basisvektorerne i et vektorrum danner et generatorsæt af vektorrummet.

Dimension

Dimensionen af ​​et vektorrum er kardinalnummeret på en vektorbasis for det rum; det vil sige antallet af vektorer, der udgør nævnte base.

Denne kardinal er det maksimale antal lineært uafhængige vektorer i dette vektorrum, og på samme tid det minimale antal vektorer, der danner et generatorsæt af det rum.

Baserne i et vektorrum er ikke unikke, men alle baser i det samme vektorrum har den samme dimension.

Vector underrum

Et vektorsubrum S i et vektorrum V er en delmængde af V, hvor de samme operationer er defineret som i V og opfylder alle vektorrumsaksiomer. Derfor vil underrummet S også være et vektorrum.

Eksempel på vektorsubrum er vektorerne, der hører til XY-planet. Dette underrum er en undergruppe af et vektorrum med dimensionalitet, der er større end det sæt vektorer, der hører til det tredimensionelle rum XYZ.

Et andet eksempel på et vektorsubrum S1 i vektorrummet S dannet af alle 2 × 2 matrixer med reelle elementer er defineret nedenfor:

På den anden side danner S2 defineret nedenfor, selvom det er en undergruppe af S, ikke et vektorsubrum:

Løst øvelser

- Øvelse 1

Lad vektorerne V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) og V3 = (0, 0, 3) i R3.

a) Vis, at de er lineært uafhængige.

b) Vis, at de danner et grundlag i R³, da enhver tredobbelt (x, y, z) kan skrives som en lineær kombination af V1, V2, V3.

c) Find komponenterne i tredobbelt V = (-3,5,4) i basen V1, V2, V3.

Løsning

Kriteriet for at demonstrere lineær uafhængighed består i at etablere følgende sæt ligninger i α, β og γ

a (1, 1, 0) + ß (0, 2, 1) + y (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

I tilfælde af at den eneste løsning på dette system er α = β = γ = 0, er vektorerne lineært uafhængige, ellers er de ikke det.

For at opnå værdierne af α, β og γ foreslår vi følgende ligningssystem:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Den første fører til α = 0, den anden α = -2 ∙ β, men da α = 0 så er β = 0. Den tredje ligning indebærer, at γ = (- 1/3) β, men da β = 0, så er y = 0.

Svar til

Det konkluderes, at det er et sæt lineære uafhængige vektorer i R³.

Svar b

Lad os nu skrive tredobbelt (x, y, z) som en lineær kombination af V1, V2, V3.

(x, y, z) = a V1 + ß V2 + y V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + y (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Hvor har du:

a = x

a + 2 ß = y

ß + 3 y = z

Den første angiver α = x, den anden β = (yx) / 2 og den tredje γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. På denne måde har vi fundet generatorerne af α, β og γ fra enhver triplet af R3

Svar c

Lad os gå videre for at finde komponenterne i tredobbelt V = (-3,5,4) i basen V1, V2, V3.

Vi erstatter de tilsvarende værdier i de udtryk, der findes ovenfor for generatorerne.

I dette tilfælde har vi: α = -3; p = (5 - (- 3)) / 2 = 4; y = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Det er:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Sidst:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Vi konkluderer, at V1, V2, V3 danner et grundlag i vektorrummet R3 i dimension 3.

- Øvelse 2

Udtrykk polynomet P (t) = t² + 4t -3 som en lineær kombination af P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t og P3 (t) = t + 3.

Løsning

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

hvor tallene x, y, z skal bestemmes.

Ved at multiplicere og gruppere termer med samme grad i t opnår vi:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Hvilket fører os til følgende system af ligninger:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Løsningerne i dette ligningssystem er:

x = -3, y = 2, z = 4.

Det er:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

- Øvelse 3

Vis at vektorerne v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) og v3 = (2, 1, -1, 1) af R4 er lineært uafhængige.

Løsning

Vi kombinerer lineært de tre vektorer v1, v2, v3 og kræver, at kombinationen tilføjer nulelementet til R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Det vil sige, a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Dette fører os til følgende system af ligninger:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Trækker den første og fjerde har vi: -a + c = 0 hvilket indebærer a = c.

Men hvis vi ser på den tredje ligning, har vi den a = -c. Den eneste måde, a = c = (- c) holder på, er at c skal være 0 og derfor vil et også være 0.

a = c = 0

Hvis vi tilslutter dette resultat til den første ligning, konkluderer vi, at b = 0.

Endelig a = b = c = 0, så det kan konkluderes, at vektorerne v1, v2 og v3 er lineært uafhængige.

Referencer

1. Lipschutz, S. 1993. Lineær algebra. Anden version. McGraw-Hill. 167-198.