FÆLLES FAKTOR VED GRUPPERING AF TERMER: EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Den fælles faktor ved gruppering af termer er en algebraisk procedure, der giver dig mulighed for at skrive nogle algebraiske udtryk i form af faktorer. For at nå dette mål skal du først gruppere udtrykket ordentligt og observere, at hver gruppe, der er dannet, faktisk har en fælles faktor.

At anvende teknikken korrekt kræver en vis praksis, men på ingen tid mestrer du den. Lad os først se på et illustrativt eksempel beskrevet trin for trin. Derefter kan læseren anvende det, de har lært i hver af de øvelser, der vil vises senere.

Figur 1. At tage en fælles faktor ved at gruppere termer gør det lettere at arbejde med algebraiske udtryk. Kilde: Pixabay.

Antag f.eks., At du er nødt til at faktorere følgende udtryk:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Dette algebraiske udtryk består af 4 monomer eller termer, adskilt af + og - tegn, nemlig:

2x ², 2xy, -3zx, -3zy

Når man ser nøje, er x fælles for de første tre, men ikke den sidste, mens y er fælles for den anden og fjerde, og z er fælles for den tredje og fjerde.

Så i princippet er der ingen fælles faktor for de fire udtryk på samme tid, men hvis de er grupperet som vist i det næste afsnit, er det muligt, at der vises en, der hjælper med at skrive udtrykket som produktet af to eller flere faktorer.

eksempler

Faktor udtrykket: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Trin 1: Grupper

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Trin 2: Find den fælles faktor for hver gruppe

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Jeg er vigtig: det negative tegn er også en almindelig faktor, der skal tages i betragtning.

Bemærk nu, at parenteserne (x + y) gentages i de to udtryk opnået ved gruppering. Det er den fælles faktor, der blev søgt.

Trin 3: Faktorer hele udtrykket

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Med det forrige resultat er målet om factoring nået, hvilket er intet andet end at omdanne et algebraisk udtryk baseret på tilføjelser og subtraktioner af termer til produktet af to eller flere faktorer, i vores eksempel, af: (x + y) og (2x - 3z).

Vigtige spørgsmål om den fælles faktor ved gruppering

Spørgsmål 1: Hvordan kan man vide, at resultatet er korrekt?

Svar: Den distribuerende egenskab anvendes til det opnåede resultat, og efter reduktion og forenkling skal det således opnåede udtryk matche originalen, hvis ikke, er der en fejl.

I det foregående eksempel arbejder vi omvendt med resultatet for at kontrollere, at det er korrekt:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Da rækkefølgen af ​​tillæg ikke ændrer summen, returneres alle de oprindelige vilkår efter anvendelse af den distribuerende ejendom, inklusive tegn, derfor er faktoriseringen korrekt.

Spørgsmål 2: Kunne det være blevet grupperet på en anden måde?

Svar: Der er algebraiske udtryk, der tillader mere end en form for gruppering og andre, der ikke gør det. I det valgte eksempel kan læseren prøve andre muligheder på egen hånd, for eksempel at gruppere sådan:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

Og du kan kontrollere, at resultatet er det samme, som det blev opnået her. At finde den optimale gruppering er et spørgsmål om praksis.

Spørgsmål 3: Hvorfor er det nødvendigt at tage en fælles faktor fra et algebraisk udtryk?

Svar: Fordi der er applikationer, hvor det fakturerede udtryk gør beregninger lettere. Antag f.eks., At du vil indstille 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy lig med 0. Hvad er mulighederne?

For at besvare dette spørgsmål er den fakturerede version meget mere nyttig end den oprindelige udvikling i termer. Det siges sådan:

(x + y) (2x - 3z) = 0

En mulighed for, at udtrykket er værd 0, er at x = -y, uanset værdien af ​​z. Og den anden er, at x = (3/2) z, uanset værdien af ​​y.

Øvelser

- Øvelse 1

Uddrag fælles faktor for følgende udtryk ved at gruppere udtryk:

øks + ay + bx + af

Løsning

De to første grupperes med den fælles faktor "a" og de sidste to med den fælles faktor "b":

øks + ay + bx + af = a (x + y) + b (x + y)

Når dette er gjort, afsløres en ny fælles faktor, som er (x + y), så:

øks + ay + bx + af = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

En anden måde at gruppere på

Dette udtryk understøtter en anden måde at gruppere på. Lad os se, hvad der sker, hvis udtrykkene omarrangeres, og der oprettes en gruppe med dem, der indeholder x, og en anden med dem, der indeholder y:

øks + ay + bx + af = aks + bx + ay + ved = x (a + b) + y (a + b)

På denne måde er den nye fælles faktor (a + b):

øks + ay + bx + af = aks + bx + ay + af = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Hvilket fører til det samme resultat fra den første gruppering, der blev testet.

- Øvelse 2

Følgende algebraiske udtryk kræves skrevet som et produkt af to faktorer:

3a ³ - 3a ² b + 9AB ² -a ² + ab-3b ²

Løsning

Dette udtryk indeholder 6 udtryk. Lad os prøve at gruppere første og fjerde, anden og tredje og endelig femte og sjette:

3a ³ - 3a ² b + 9AB ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9AB ²) + (ab-3b ²)

Nu er hver parentes beregnet:

= (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9AB ²) + (ab -3b ²) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b -a) + b (a-3b)

Ved første øjekast ser det ud til, at situationen er blevet kompliceret, men læseren bør ikke frarådes, da vi vil omskrive det sidste valgperiode:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

De to sidste udtryk har nu en fælles faktor, som er (3b-a), så de kan indregnes. Det er meget vigtigt ikke at miste synspunktet af den første periode a ² (3a - 1), som skal fortsætte med at ledsage alt som en tilføjelse, selvom du ikke arbejder med det:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Udtrykket er reduceret til to udtryk, og en ny fælles faktor opdages i den sidste, der er "b". Nu forbliver det:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Den næste fælles faktor, der vises, er 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Eller hvis du foretrækker uden parenteser:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ²)

Kan læseren finde en anden måde at gruppere på, som fører til samme resultat?

Figur 2. Foreslåede factoringøvelser. Kilde: F. Zapata.

Referencer

1. Baldor, A. 1974. Elementær algebra. Kulturelle Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Vigtigste tilfælde af factoring. Gendannes fra: julioprofe.net.
4. UNAM. Grundlæggende matematik: faktorisering ved gruppering af termer. Fakultet for regnskab og administration.
5. Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. MacGraw Hill.