FACTORING: METODER OG EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

Den faktorisering er en fremgangsmåde, ved hvilken et polynomium udtrykkes som multiplikationsfaktorer, som kan være tal eller bogstaver eller begge. For at faktorere er de faktorer, der er fælles for termerne, grupperet sammen, og på denne måde nedbrydes polynomet til flere polynomer.

Når faktorerne således multipliceres sammen, er resultatet det originale polynom. Factoring er en meget nyttig metode, når du har algebraiske udtryk, fordi det kan konverteres til multiplikation af flere enkle udtryk; for eksempel: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Der er tilfælde, hvor et polynom ikke kan tages i betragtning, fordi der ikke er nogen fælles faktor mellem dens vilkår; således kan disse algebraiske udtryk kun deles af sig selv og med 1. F.eks.: x + y + z.

I et algebraisk udtryk er den fælles faktor den største fælles skiller af de udtryk, der sammensætter den.

Factoring metoder

Der er flere factoringmetoder, der anvendes afhængigt af sagen. Nogle af disse er som følger:

Factoring efter fælles faktor

I denne metode identificeres de fælles faktorer; det vil sige dem, der gentages i udtrykket. Derefter anvendes fordelende ejendom, den største fælles divisor tages, og factoring er afsluttet.

Med andre ord identificeres den fælles faktor for udtrykket, og hvert udtryk divideres med det; De resulterende udtryk multipliceres med den største fælles divisor for at udtrykke faktoriseringen.

Eksempel 1

Faktor (b ² x) + (b ² y).

Løsning

Først finder du den fælles faktor for hvert udtryk, som i dette tilfælde er b ², og derefter deler ordene med den fælles faktor som følger:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Faktoriseringen udtrykkes ved at multiplicere den fælles faktor med de resulterende udtryk:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Eksempel 2

Faktor (2a ² b ³) + (3ab ²).

Løsning

I dette tilfælde har vi to faktorer, der gentages i hvert udtryk, der er "a" og "b", og som hæves til en magt. For at faktorere dem nedbrydes de to udtryk først i deres lange form:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Det kan ses, at faktor "a" kun gentages en gang i anden periode, og faktor "b" gentages to gange i dette; så i den første periode er der kun 2 tilbage, en faktor "a" og en faktor "b"; mens der i den anden periode kun er 3 tilbage.

Derfor skrives og ganges de gange, hvor "a" og "b" gentages, med de faktorer, der er tilbage fra hvert sigt, som vist på billedet:

Gruppering af factoring

Da ikke i alle tilfælde den største fælles divisor af et polynom udtrykkeligt udtrykkes, er det nødvendigt at gøre andre skridt for at være i stand til at omskrive polynomet og dermed faktor.

Et af disse trin er at gruppere udtrykkene for polynomet i flere grupper og derefter bruge den fælles faktormetode.

Eksempel 1

Faktor ac + bc + annonce + bd.

Løsning

Der er 4 faktorer, hvor to er almindelige: i den første periode er det «c» og i det andet er det «d». På denne måde er de to udtryk grupperet og adskilt:

(ac + bc) + (annonce + bd).

Nu er det muligt at anvende den fælles faktormetode ved at dele hvert udtryk med dens fælles faktor og derefter multiplicere den fælles faktor med de resulterende udtryk som denne:

(ac + bc) / c = a + b

(annonce + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Nu får vi en binomial, der er fælles for begge udtryk. For at faktorere det multipliceres det med de resterende faktorer; på den måde skal du:

ac + bc + annonce + bd = (c + d) _* (a + b).

Inspektion factoring

Denne metode bruges til at faktorere kvadratiske polynomer, også kaldet trinomer. det vil sige dem, der er struktureret som aks ² ± bx + c, hvor værdien af ​​"a" er forskellig fra 1. Denne metode bruges også når trinomialet har formen x ² ± bx + c og værdien af ​​"a" = 1.

Eksempel 1

Faktor x ² + 5x + 6.

Løsning

Vi har et kvadratisk trinomium med formen x ² ± bx + c. For at faktorere det, skal du først finde to tal, der, når de ganges, giver værdien af ​​«c» (det vil sige 6), og at deres sum er lig med koefficienten «b», som er 5. Disse tal er 2 og 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Således er udtrykket forenklet på denne måde:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Hvert begreb er indregnet:

- For (x ² + 2x) er det fælles udtryk taget: x (x + 2)

- For (3x + 6) = 3 (x + 2)

Udtrykket er således:

x (x +2) + 3 (x +2).

Da vi har en binomial til fælles, for at reducere udtrykket multiplicerer vi dette med de resterende udtryk, og vi er nødt til at:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Eksempel 2

Faktor 4a ² + 12a + 9 = 0.

Løsning

Vi har en kvadratisk trinomial af formen ax ² ± bx + cy for at faktorere den, multiplicere hele udtrykket med koefficienten x ²; i dette tilfælde 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Nu skal vi finde to tal, som, ganget ganges med hinanden, giver resultatet resultatet af "c" (som er 36), og som, når det tilføjes, giver resultatet resultatet af udtrykket "a", som er 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

På denne måde omskrives udtrykket under hensyntagen til at 4 ² a ² = 4a _* 4a. Derfor gælder den distribuerende ejendom for hver periode:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Endelig er udtrykket divideret med koefficienten for en ²; det vil sige 4:

(4. + 6) _* (4. + 6) / 4 = ((4. + 6) / 2) _* ((4. + 6) / 2).

Udtrykket er som følger:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factoring med bemærkelsesværdige produkter

Der er tilfælde, hvor det bliver en meget lang proces for fuldt ud at faktorere polynomierne med ovenstående metoder.

Derfor kan der udvikles et udtryk med formlerne for de bemærkelsesværdige produkter, og processen bliver dermed enklere. Blandt de mest anvendte bemærkelsesværdige produkter er:

- Forskel på to firkanter: (a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

- Perfekt firkant af en sum: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Perfekt firkant af forskellen: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Forskel på to terninger: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

- Summen af ​​to terninger: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ²)

Eksempel 1

Faktor (5 ² - x ²)

Løsning

I dette tilfælde er der en forskel på to firkanter; derfor gælder den bemærkelsesværdige produktformel:

(a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ²) = (5 - x) _* (5 + x)

Eksempel 2

Faktor 16x ² + 40x + 25 ²

Løsning

I dette tilfælde har du et perfekt kvadrat af en sum, fordi du kan identificere to termer i kvadrat, og det resterende udtryk er resultatet af at multiplicere to med kvadratroten i den første term, med kvadratroten af ​​den anden periode.

en ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

For kun at beregne kvadratrødderne af det første og tredje udtryk beregnes:

√ (16x ²) = 4x

√ (25 ²) = 5.

Derefter udtrykkes de to resulterende udtryk adskilt af operationens tegn, og hele polynomet er kvadratisk:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ².

Eksempel 3

Faktor 27a ³ - b ³

Løsning

Udtrykket repræsenterer en subtraktion, hvor to faktorer er i terning. For at faktorere dem anvendes formlen for det bemærkelsesværdige produkt med forskellen på terninger, som er:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

For at faktorere tages og multipliceres terningroden af ​​hver binomialbegreb og multipliceres med kvadratet i den første term, plus produktet fra den første med den anden term plus den anden term i kvadratet.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³) = 3a

³√ (-b ³) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3ab) _* (9a ² + 3ab + b ²)

Factoring med Ruffinis regel

Denne metode bruges, når du har et polynomium på mere end to for at forenkle udtrykket til flere polynomier i mindre grad.

Eksempel 1

Faktor Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Løsning

Først ser vi efter de tal, der er divisorer på 12, som er det uafhængige udtryk; Disse er ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 og ± 12.

Derefter erstattes x med disse værdier, fra laveste til højeste, og det bestemmes således med, hvilke af værdier inddelingen vil være nøjagtig; det vil sige, at resten skal være 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

Og så videre for hver divisor. I dette tilfælde er de fundne faktorer for x = -1 og x = 2.

Nu anvendes Ruffini-metoden, hvorefter ekspressionskoefficienterne deles med de fundne faktorer, så inddelingen er nøjagtig. Polynomiske udtryk ordnes fra højeste til laveste eksponent; i tilfælde af, at et begreb med den næste grad mangler i sekvensen, placeres en 0 på sin plads.

Koefficienterne er placeret i et skema som vist på det følgende billede.

Den første koefficient sænkes og ganges med divisoren. I dette tilfælde er den første divisor -1, og resultatet placeres i den næste kolonne. Derefter tilføjes værdien af ​​koefficienten med det opnåede resultat lodret, og resultatet placeres nedenfor. På denne måde gentages processen indtil den sidste kolonne.

Derefter gentages den samme procedure igen, men med den anden divisor (som er 2), fordi udtrykket stadig kan forenkles.

For hver opnået rod vil polynomet således have et udtryk (x - a), hvor "a" er værdien af ​​roden:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

På den anden side skal disse udtryk multipliceres med resten af ​​Ruffinis regel 1: 1 og -6, som er faktorer, der repræsenterer en grad. På denne måde er det udtryk, der dannes,: (x ² + x - 6).

Opnåelse af resultatet af faktoriseringen af ​​polynomet ved hjælp af Ruffini-metoden er:

x ⁴ - ⁹ x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Endelig kan polynomet af grad 2, der vises i det forrige udtryk, blive omskrevet som (x + 3) (x-2). Derfor er den endelige faktorisering:

x ⁴ - ⁹ x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Referencer

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Uddannelse.
2. J, V. (2014). Sådan undervises børnene i faktorer for et polynom.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Grundlæggende matematik med applikationer.
4. Roelse, PL (1997). Lineære metoder til polynomfaktorisering over endelige felter: teori og implementeringer. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Ringe og faktorisering.