DELVISE FRAKTIONER: TILFÆLDE OG EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

De delvise fraktioner er fraktioner dannet af polynomier, hvor nævneren kan være en lineær eller kvadratisk polynom, og den kan desuden hæves til en vis kraft. Nogle gange når vi har rationelle funktioner, er det meget nyttigt at omskrive denne funktion som en sum af delvise fraktioner eller enkle fraktioner.

Dette er tilfældet, fordi vi på denne måde kan manipulere disse funktioner på en bedre måde, især i tilfælde, hvor det er nødvendigt at integrere nævnte applikation. En rationel funktion er simpelthen kvoten mellem to polynomer, og de kan være rigtige eller forkerte.

Hvis graden af ​​polynomet af tælleren er mindre end nævneren, kaldes det en rationel korrekt funktion; Ellers er det kendt som en forkert rationel funktion.

Definition

Når vi har en forkert rationel funktion, kan vi dele polynomiet i tælleren med nævnerens polynomium og således omskrive brøkdelen p (x) / q (x), efter delingsalgoritmen som t (x) + s (x) / q (x), hvor t (x) er et polynom, og s (x) / q (x) er en rationel funktion.

En delvis fraktion er enhver passende funktion af polynomier, hvis nævner er af formen (aks + b) ⁿ eller (øks ² + bx + c) ⁿ, hvis polynomien øks ² + bx + c ikke har reelle rødder og n er et tal naturlig.

For at omskrive en rationel funktion i delvise fraktioner er den første ting at gøre faktor i nævneren q (x) som et produkt af lineære og / eller kvadratiske faktorer. Når dette er gjort, bestemmes de delvise fraktioner, der afhænger af arten af ​​disse faktorer.

Sager

Vi overvejer flere sager separat.

Sag 1

Faktorerne for q (x) er alle lineære, og ingen gentages. Det vil sige:

q (x) = (a ₁ x + b ₁) (a ₂ x + b ₂)… (a _s x + b _s)

Der er ingen lineær faktor identisk med en anden. Når denne sag opstår, skriver vi:

p (x) / k (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂)… + A _s / (a _s x + b _s).

Hvor A ₁, A ₂,…, _As er de konstanter, der findes.

Eksempel

Vi ønsker at nedbryde den rationelle funktion i enkle fraktioner:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Vi fortsætter med at faktorere nævneren, det vil sige:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Derefter:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Anvendelse af mindst almindelig multipel kan det opnås, at:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Vi ønsker at opnå værdierne for konstanterne A, B og C, som kan findes ved at erstatte rødderne, der annullerer hver af udtrykkene. Ved at erstatte 0 for x har vi:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Ved at erstatte - 1 for x har vi:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Ved at erstatte - 2 for x har vi:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

På denne måde opnås værdierne A = –1/2, B = 2 og C = –3/2.

Der er en anden metode til at opnå værdierne af A, B og C. Hvis på højre side af ligningen x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x vi kombinerer termer, vi har:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Da dette er en ligestilling af polynomer, har vi, at koefficienterne på venstre side skal være lig med dem på højre side. Dette resulterer i følgende ligningssystem:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Ved at løse dette ligningssystem opnår vi resultaterne A = –1/2, B = 2 og C = -3/2.

Endelig ved at erstatte de opnåede værdier har vi, at:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Sag 2

Faktorerne q (x) er alle lineære, og nogle gentages. Antag, at (ax + b) er en faktor, der gentager "s" gange; derefter svarer til denne faktor summen af ​​«s» delvise fraktioner.

A _s / (øks + b) ^s + A _s-1 / (øks + b) ^s-1 +… + A ₁ / (øks + b).

Hvor A _s, A _s-1,…, A ₁ er de konstanter, der skal bestemmes. Med det følgende eksempel viser vi, hvordan man fastlægger disse konstanter.

Eksempel

Nedbryd i delvise fraktioner:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³)

Vi skriver den rationelle funktion som en sum af delvise fraktioner som følger:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2).

Derefter:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Ved at erstatte 2 for x har vi det:

7 = 4C, det vil sige C = 7/4.

Ved at erstatte 0 for x har vi:

- 1 = –8A eller A = 1/8.

Ved at udskifte disse værdier i den forrige ligning og udvikle sig, har vi følgende:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Ligningskoefficienter opnår vi følgende ligningssystem:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Løsning af systemet har vi:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

For dette skal vi:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Sag 3

Faktorerne for q (x) er lineære kvadratiske uden gentagne kvadratiske faktorer. I dette tilfælde vil den kvadratiske faktor (aks ² + bx + c) svare til den delvise fraktion (Ax + B) / (aks ² + bx + c), hvor konstanterne A og B er dem, der skal bestemmes.

Følgende eksempel viser, hvordan du går frem i dette tilfælde

Eksempel

Nedbryd i enkle fraktioner a (x + 1) / (x ³ - 1).

Først fortsætter vi med at faktorere nævneren, hvilket giver os som et resultat:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Vi kan observere, at (x ² + x + 1) er et irreducerbart kvadratisk polynom; det vil sige, det har ikke rigtige rødder. Dets nedbrydning i delvise fraktioner vil være som følger:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Herfra opnår vi følgende ligning:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Ved hjælp af lighed mellem polynomer opnår vi følgende system:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Fra dette system har vi, at A = 2/3, B = - 2/3 og C = 1/3. I stedet for har vi det:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Sag 4

Til sidst er tilfældet 4 det, hvor faktorerne q (x) er lineære og kvadratiske, hvor nogle af de lineære kvadratiske faktorer gentages.

I dette tilfælde, hvis (aks ² + bx + c) er en kvadratisk faktor, der gentager "s" gange, vil den delvise fraktion svarende til faktoren (aks ² + bx + c) være:

(A ₁ x + B) / (aks ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1) / (aks ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B) _s) / (øks ² + bx + c) ^s

Hvor A _s, A _s-1,…, A og B _s, B _s-1,…, B er konstanter, der skal bestemmes.

Eksempel

Vi ønsker at nedbryde følgende rationelle funktion i delvise fraktioner:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²)

Da x ² - 4x + 5 er en irreducerbar kvadratisk faktor, har vi, at dens nedbrydning til delvise fraktioner er givet af:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Forenkling og udvikling har vi:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Fra det ovenstående har vi følgende system af ligninger:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Når vi løser systemet, står vi tilbage med:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 og E = - 3/5.

Ved at erstatte de opnåede værdier har vi:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

Applikationer

Integreret beregning

Delvise fraktioner anvendes primært til undersøgelse af integreret beregning. Her er nogle eksempler på, hvordan man udfører integraler ved hjælp af delvise fraktioner.

Eksempel 1

Vi ønsker at beregne integralet af:

Vi kan se, at nævneren q (x) = (t + 2) ² (t + 1) består af lineære faktorer, hvor en af ​​disse gentages; Dette er grunden til, at vi er i sag 2.

Vi skal:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Vi omskriver ligningen, og vi har:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Hvis t = - 1, har vi:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Hvis t = - 2, giver det os:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Så hvis t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

I stedet for værdierne for A og C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Fra ovenstående har vi, at B = - 1.

Vi omskriver integralet som:

Vi fortsætter med at løse det ved substitutionsmetoden:

Dette er resultatet:

Eksempel 2

Løs følgende integral:

I dette tilfælde kan vi faktor aq (x) = x ² - 4 som q (x) = (x - 2) (x + 2). Vi er helt klart i sag 1. Derfor:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Det kan også udtrykkes som:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Hvis x = - 2, har vi:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Og hvis x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Således står vi med at løse det givne integral svarer til at løse:

Dette giver os som et resultat:

Eksempel 3

Løs integralet:

Vi har q (x) = 9x ⁴ + x ², som vi kan faktorere i q (x) = x ² (9x ² + 1).

Denne gang har vi en gentagen lineær faktor og en kvadratisk faktor; det vil sige, vi er i sag 3.

Vi skal:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Ved at gruppere og bruge lige polynomer har vi:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Fra dette ligningssystem har vi:

D = - 9 og C = 0

På denne måde har vi:

Ved at løse ovenstående har vi:

Loven om masseaktion

En interessant anvendelse af de delvise fraktioner, der er anvendt på den integrale beregning, findes i kemi, mere præcist i masseaktivitetsloven.

Antag, at vi har to stoffer, A og B, der går sammen og danner et stof C, så derivatet af mængden af ​​C med hensyn til tid er proportional med produktet af mængderne af A og B på ethvert givet tidspunkt.

Vi kan udtrykke loven om masseaktion som følger:

I dette udtryk er a det oprindelige antal gram, der svarer til A, og ß det oprindelige antal gram svarende til B.

Endvidere repræsenterer r og s antallet af gram henholdsvis A og B, der kombineres til dannelse af r + s gram C. På sin side repræsenterer x antallet af gram stof C på tidspunktet t, og K er konstant af proportionalitet. Ovenstående ligning kan omskrives som:

Foretag følgende ændring:

Vi har, at ligningen bliver:

Fra dette udtryk kan vi få:

Hvor, hvis a ≠ b, kan delvise fraktioner bruges til integration.

Eksempel

Lad os for eksempel tage et stof C, der opstår ved at kombinere et stof A med et B, på en sådan måde, at masseloven er opfyldt, hvor værdierne af a og b er henholdsvis 8 og 6. Giv en ligning, der giver os værdien af ​​gram C som en funktion af tiden.

I stedet for værdierne i den givne masselov har vi:

Når vi adskiller variabler har vi:

Her kan 1 / (8 - x) (6 - x) skrives som summen af ​​delvise fraktioner som følger:

Således er 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Hvis vi erstatter 6 med x, har vi B = 1/2; og ved at erstatte 8 med x, har vi A = - 1/2.

Integrering ved delvise fraktioner har vi:

Dette giver os som et resultat:

Differential ligninger: logistisk ligning

En anden anvendelse, der kan gives til delvise fraktioner, er i den logistiske differentialligning. I enkle modeller har vi, at vækstraten for en befolkning er proportional med dens størrelse; det vil sige:

Denne sag er et ideal og betragtes som realistisk, indtil det sker, at de ressourcer, der er til rådighed i et system, er utilstrækkelige til at støtte befolkningen.

I disse situationer er det mest fornuftige at tro, at der er en maksimal kapacitet, som vi vil kalde L, som systemet kan opretholde, og at vækstraten er proportional med størrelsen på befolkningen ganget med den tilgængelige størrelse. Dette argument fører til følgende differentialligning:

Dette udtryk kaldes den logistiske differentialligning. Det er en separerbar differentialligning, der kan løses med den delvise fraktionsintegrationsmetode.

Eksempel

Et eksempel ville være at overveje en population, der vokser i henhold til den følgende logistiske differentialligning y '= 0.0004y (1000 - y), hvis oprindelige data er 400. Vi vil gerne vide størrelsen på befolkningen på tidspunktet t = 2, hvor t måles i år.

Hvis vi skriver y 'med Leibniz' notation som en funktion, der afhænger af t, har vi:

Integralet på venstre side kan løses ved hjælp af integrationsmetoden til delvis fraktion:

Vi kan omskrive denne sidste lighed på følgende måde:

- Ved at erstatte y = 0 har vi, at A er lig med 1/1000.

- Ved at erstatte y = 1000 har vi, at B er lig med 1/1000.

Med disse værdier er integralen som følger:

Løsningen er:

Brug af de oprindelige data:

Når vi rydder, og vi har:

Så har vi det ved t = 2:

Afslutningsvis er befolkningens størrelse efter 2 år 597,37.

Referencer

1. A, RA (2012). Matematik 1. Universidad de los Andes. Publikationsrådet.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (nd). 801 Løste integraler. National eksperimentelt universitet i Tachira.
3. Leithold, L. (1992). Beregningen med analytisk geometri. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Beregning. Mexico: Pearson Education.
5. Saenz, J. (nd). Integreret beregning. Hypotenusen.