KONSTANT FUNKTION: EGENSKABER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Den konstante funktion er en, hvor værdien af ​​y holdes konstant. Med andre ord: en konstant funktion har altid formen f (x) = k, hvor k er et reelt tal.

Når man tegner den konstante funktion i xy-koordinatsystemet, resulterer det altid i en lige linje parallel med den vandrette eller x-aksen.

Figur 1. Graf over flere konstante funktioner på det kartesiske plan. Kilde: Wikimedia Commons. Bruger: HiTe

Denne funktion er et bestemt tilfælde af affinfunktionen, hvis graf også er en lige linje, men med en hældning. Den konstante funktion har nul hældning, det vil sige det er en vandret linje, som det kan ses i figur 1.

Der vises grafen over tre konstante funktioner:

Alle er linjer parallelle med den vandrette akse, den første er under nævnte akse, mens resten er over.

Konstante funktionsegenskaber

Vi kan sammenfatte de vigtigste egenskaber ved den konstante funktion som følger:

-Dens graf er en vandret lige linje.

-Det har et unikt skæringspunkt med y-aksen, som er værd at k.

-Det er kontinuerligt.

-Den domæne af konstant funktion (det sæt af værdier, der kan have x) er sættet af reelle tal R.

-Stien, rækkevidden eller moddomænet (det sæt værdier, som variablen y tager), er simpelthen konstanten k.

eksempler

Funktioner er nødvendige for at etablere forbindelser mellem mængder, der afhænger af hinanden på en eller anden måde. Forholdet mellem dem kan matematisk modelleres for at finde ud af, hvordan den ene af dem opfører sig, når den anden varierer.

Dette hjælper med at opbygge modeller til mange situationer og komme med forudsigelser om deres adfærd og udvikling.

På trods af sin tilsyneladende enkelhed har den konstante funktion mange applikationer. For eksempel når det kommer til at studere mængder, der forbliver konstante over tid, eller i det mindste i en mærkbar tid.

På denne måde opfører størrelser sig i situationer som følgende:

-Krydsningshastigheden på en bil, der bevæger sig langs en lang lige hovedvej. Så længe du ikke bremser eller accelererer, har bilen en ensartet retlinjet bevægelse.

Figur 2. Hvis bilen ikke bremser eller accelererer, har den en ensartet retlinjet bevægelse. Kilde: Pixabay.

-En fulladet kondensator, der er frakoblet et kredsløb, har en konstant ladning over tid.

Endelig opretholder en fast parkeringsplads en konstant pris, uanset hvor længe en bil parkeres der.

En anden måde at repræsentere en konstant funktion på

Den konstante funktion kan alternativt repræsenteres som følger:

Da enhver værdi af x hævet til 0 giver 1 som et resultat, reducerer det forrige udtryk til det allerede kendte:

Det sker selvfølgelig, så længe værdien af ​​k er forskellig fra 0.

Derfor er den konstante funktion også klassificeret som en polynomfunktion i grad 0, da eksponenten for variablen x er 0.

Løst øvelser

- Øvelse 1

Svar på følgende spørgsmål:

a) Kan det oplyses, at linjen givet af x = 4 er en konstant funktion? Angiv grundene til dit svar.

b) Kan en konstant funktion have en x-opsnit?

c) Er funktionen f (x) = w ² konstant ?

Svar til

Her er grafen for linjen x = 4:

Figur 3. Graf over linjen x = 4. Kilde: F. Zapata.

Linjen x = 4 er ikke en funktion; pr. definition er en funktion en relation, således at hver værdi af variablen x svarer til en enkelt værdi af y. Og i dette tilfælde er dette ikke sandt, da værdien x = 4 er forbundet med uendelige værdier for y. Derfor er svaret nej.

Svar b

Generelt har en konstant funktion ingen x-opsnit, medmindre den er y = 0, i hvilket tilfælde det er selve x-aksen.

Svar c

Ja, da w er konstant, er dens firkant også konstant. Det vigtigste er, at w ikke afhænger af inputvariablen x.

- Øvelse 2

Find krydset mellem funktionerne f (x) = 5 og g (x) = 5x - 2

Løsning

For at finde skæringspunktet mellem disse to funktioner kan de henholdsvis omskrives som:

De udlignes og opnår:

Hvad er en lineær ligning af den første grad, hvis løsning er:

Skæringspunktet er (7 / 5,5).

- Øvelse 3

Vis at derivatet af en konstant funktion er 0.

Løsning

Fra definitionen på derivat har vi:

I stedet for definitionen:

Yderligere, hvis vi tænker på derivatet som hastigheden for ændring dy / dx, gennemgår den konstante funktion ingen ændringer, derfor er dens derivat nul.

- Øvelse 4

Find det ubestemte integral af f (x) = k.

Løsning

Figur 4. Graf over funktionen v (t) til mobil til øvelse 6. Kilde: F. Zapata.

Det spørger:

a) Skriv et udtryk for hastighedsfunktionen som en funktion af tiden v (t).

b) Find afstanden, som mobilen har rejst, i tidsintervallet mellem 0 og 9 sekunder.

Løsning på

Den viste graf viser, at:

- v = 2 m / s i tidsintervallet mellem 0 og 3 sekunder

-Mobilen stoppes mellem 3 og 5 sekunder, da hastigheden i dette interval er 0.

- v = - 3 m / s mellem 5 og 9 sekunder.

Det er et eksempel på en stykkevis funktion eller stykkevis funktion, der igen er sammensat af konstante funktioner, der kun er gyldige for de angivne tidsintervaller. Det konkluderes, at den ønskede funktion er:

Løsning b

Fra v (t) -grafen kan afstanden, som mobilen har rejst, beregnes, hvilket er numerisk ækvivalent med området under / på kurven. På denne måde:

-Modstand kørte mellem 0 og 3 sekunder = 2 m / s. 3 s = 6 m

- Mellem 3 og 5 sekunder blev han tilbageholdt, derfor rejste han ikke nogen afstand.

-Modstand kørte mellem 5 og 9 sekunder = 3 m / s. 4 s = 12 m

I alt rejste mobilen 18 m. Bemærk, at selv om hastigheden er negativ i intervallet mellem 5 og 9 sekunder, er den kørte afstand positiv. Hvad der sker er, at i løbet af dette tidsinterval havde mobilen ændret følelsen af ​​dens hastighed.

Referencer

1. GeoGebra. Konstante funktioner. Gendannet fra: geogebra.org.
2. Maplesoft. Den konstante funktion. Gendannes fra: maplesoft.com.
3. Wikibooks. Beregning i en variabel / Funktioner / Konstant funktion. Gendannet fra: es.wikibooks.org.
4. Wikipedia. Konstant funktion. Gendannet fra: en.wikipedia.org
5. Wikipedia. Konstant funktion. Gendannet fra: es.wikipedia.org.