HOMOGRAFISK FUNKTION: HVORDAN MAN TEGNER GRAFIK, LØSTE ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Den funktion homographic eller rationel ng er en type af matematisk funktion består af polynomiel division to komponenter. Den adlyder formen P (x) / Q (x), hvor Q (x) ikke kan have en nulform.

For eksempel svarer udtrykket (2x - 1) / (x + 3) til en homografisk funktion med P (x) = 2x - 1 og Q (x) = x + 3.

Kilde: pixabay.com

De homografiske funktioner udgør et afsnit af undersøgelse af de analytiske funktioner, der behandles ud fra den grafiske tilgang og fra studiet af domænet og området. Dette skyldes de begrænsninger og grunde, der skal anvendes til dine beslutninger.

Hvad er en homografisk funktion?

De er rationelle udtryk for en enkelt variabel, selvom dette ikke betyder, at der ikke er noget lignende udtryk for to eller flere variabler, hvor det allerede ville være i nærværelse af organer i rummet, der adlyder de samme mønstre som den homografiske funktion i planet.

De har reelle rødder i nogle tilfælde, men eksistensen af ​​vertikale og vandrette asymptoter opretholdes altid såvel som intervaller i vækst og formindskelse. Almindeligvis er kun en af ​​disse tendenser til stede, men der er udtryk, der er i stand til at vise begge dele i deres udvikling.

Dets domæne er begrænset af rødderne af nævneren, da der ikke er nogen division med nul af reelle tal.

Blandet homografisk funktion

De er meget hyppige i beregningen, især differentielle og integrerede, og er nødvendige for at udlede og anti-derivat under bestemte formler. Nogle af de mest almindelige er anført nedenfor.

Selv den niende rod af den homografiske funktion

Ekskluder alle elementer i domænet, der gør argumentet negativt. Rødderne, der er til stede i hvert polynomiumudbytteværdier på nul, når de vurderes.

Disse værdier accepteres af radikalen, skønt den grundlæggende begrænsning af den homografiske funktion skal overvejes. Hvor Q (x) ikke kan modtage nulværdier.

Opløsningerne af intervallerne skal opfanges:

For at opnå løsningen på skæringspunktene kan blandt andet tegnmetoden bruges.

Logaritme for den homografiske funktion

Det er også almindeligt at finde begge udtryk i en, blandt andre mulige kombinationer.

Hvordan tegner du en homografisk funktion?

Homografiske funktioner svarer grafisk til hyperbolas i planet. Som transporteres vandret og lodret i henhold til de værdier, der definerer polynomierne.

Der er flere elementer, som vi skal definere for at tegne en rationel eller homografisk funktion.

Estate

Den første vil være rødderne eller nulerne til funktionerne P og Q.

De opnåede værdier angives på grafens x-akse. Indikerer skæringspunktene på grafen med aksen.

Lodret asymptot

De svarer til lodrette linjer, der afgrænser grafen i henhold til de tendenser, de præsenterer. De berører x-aksen ved de værdier, der gør nævneren nul og vil aldrig blive berørt af grafen for den homografiske funktion.

Vandret asymptot

Repræsenteret af en vandret stinglinie afgrænser en grænse, for hvilken funktionen ikke vil blive defineret på det nøjagtige punkt. Tendenser overholdes før og efter denne linje.

For at beregne det skal vi ty til en metode, der ligner L'Hopitals metode, der bruges til at løse grænser for rationelle funktioner, der har en tendens til uendelighed. Vi skal tage koefficienterne for de højeste kræfter i tælleren og nævneren af ​​funktionen.

For eksempel har følgende udtryk en vandret asymptot ved y = 2/1 = 2.

Vækstinterval

Ordinatværdierne vil have tendenser markeret på grafen på grund af asymptoterne. I tilfælde af vækst stiger funktionen i værdier, efterhånden som elementerne i domænet evalueres fra venstre mod højre.

Reducer intervallet

Ordinatværdierne falder, når domæneelementerne evalueres fra venstre mod højre.

Hoppene, der findes i værdierne, tages ikke med i betragtning, når stigninger eller formindskelser falder. Dette sker, når grafen er tæt på en lodret eller vandret asymptot, hvor værdierne kan variere fra uendelig til negativ uendelig og omvendt.

Y kryds

Ved at indstille værdien af ​​x til nul, finder vi aflytningen med ordinataksen. Dette er meget nyttige data til opnåelse af grafen for den rationelle funktion.

eksempler

Definer grafen for følgende udtryk, find deres rødder, lodrette og vandrette asymptoter, intervaller for stigning og formindskelse og krydsning med ordinataksen.

Øvelse 1

Udtrykket har ingen rødder, fordi det har en konstant værdi i tælleren. Begrænsningen, der skal anvendes, er x forskellig fra nul. Med vandret asymptot ved y = 0 og lodret asymptot ved x = 0. Der er ingen skæringspunkter med y-aksen.

Det observeres, at der ikke er nogen vækstintervaller, selv med springet fra minus til plus uendelig ved x = 0.

Nedgangsintervallet er

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Øvelse 1.2

2 polynomer observeres som i den oprindelige definition, så vi fortsætter i henhold til de etablerede trin.

Den fundne rod er x = 7/2, hvilket er resultatet af indstillingen af ​​funktionen lig med nul.

Den lodrette asymptot er ved x = - 4, som er den værdi, der er ekskluderet fra domænet af den rationelle funktionstilstand.

Den horisontale asymptot er ved y = 2, dette efter opdeling af 2/1, koefficienterne for variablerne i grad 1.

Det har et y-afskærmning = - 7/4. Værdi fundet efter ligning x til nul.

Funktionen vokser konstant med et spring fra plus til minus uendelig omkring roden x = -4.

Dets vækstinterval er (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Når værdien af ​​x nærmer sig minus uendelighed, tager funktionen værdier tæt på 2. Det samme sker, når x nærmer sig mere uendelighed.

Udtrykket nærmer sig uendelig, når man evaluerer til - 4 fra venstre, og minus uendelig, når man evaluerer til - 4 fra højre.

Øvelse 2

Grafen for følgende homografiske funktion observeres:

Beskriv dens adfærd, rødder, lodrette og vandrette asymptoter, intervaller i vækst og formindskelse og krydsning med ordinataksen.

Nævneren af ​​udtrykket fortæller os ved at indregne forskellen i firkanter (x + 1) (x - 1) røddernes værdier. På denne måde kan begge lodrette asymptoter defineres som:

x = -1 og x = 1

Den horisontale asymptot svarer til abscisseaksen, fordi den højeste kraft er i nævneren.

Dets eneste rod er defineret af x = -1/3.

Udtrykket falder altid fra venstre mod højre. Det nærmer sig nul, når man nærmer sig uendeligt. Minus uendelig, når du nærmer dig -1 fra venstre. Et plus uendeligt, når det nærmer sig -1 fra højre. Mindre uendelighed, når man nærmer sig 1 fra venstre og mere uendelig, når man nærmer sig 1 fra højre.

Referencer

1. Tilnærmelse med rationelle funktioner. Donald J. Newman. American Mathematical Soc., 31. december. 1979
2. Ortogonale rationelle funktioner. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13. februar. 1999
3. Rationel tilnærmelse af virkelige funktioner. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3. mar. 2011
4. Algebraiske funktioner. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1. jan 2004
5. Tidsskrift for det spanske matematiske samfund, bind 5-6. Spanish Mathematical Society, Madrid 1916