OBJEKTIV FUNKTION: HVAD DET ER, HVAD DET ER TIL OG EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

En injektionsfunktion er enhver relation af elementer i domænet med et enkelt element i codomain. Også kendt som en en-til-en- funktion (1 - 1), de er en del af klassificeringen af ​​funktioner med hensyn til den måde, deres elementer er forbundet med.

Et element i kodomænet kan kun være billedet af et enkelt element i domænet, på denne måde kan værdierne for den afhængige variabel ikke gentages.

Kilde: Forfatter.

Et klart eksempel ville være at gruppere mænd med job i gruppe A og i gruppe B alle chefer. Funktion F vil være den, der forbinder hver arbejdstager med sin chef. Hvis hver arbejdstager er forbundet med en anden chef gennem F, vil F være en injektionsfunktion.

Følgende skal overholdes for at overveje en funktion injektiv:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

Dette er den algebraiske måde at sige For hver x _{1, der er} forskellig fra x _{2, har} vi en F (x ₁) forskellig fra F (x ₂).

Hvad er injektionsfunktioner til?

Injektivitet er en egenskab ved kontinuerlige funktioner, da de sikrer tildeling af billeder til hvert element af domænet, et væsentligt aspekt i kontinuiteten af ​​en funktion.

Når man tegner en linje, der er parallel med X- aksen på grafen for en injektionsfunktion, skal grafen kun røres på et enkelt punkt, uanset i hvilken højde eller størrelse af Y linjen tegnes. Dette er den grafiske måde at teste en funktions injektivitet.

En anden måde at teste, om en funktion er injektiv, er ved at løse den uafhængige variabel X med hensyn til den afhængige variabel Y. Derefter skal det verificeres, om domænet i dette nye udtryk indeholder de reelle tal på samme tid som for hver værdi af Y der er en enkelt værdi af X.

Funktionerne eller ordrerelationer adlyder blandt andet notationen F: D _f → C _f

Hvad der læses F, der går fra _Df til _Cf

Hvor funktionen F relaterer sæt Domain og Codomain. Også kendt som startsættet og efterbehandlingssættet.

Domænet D _f indeholder de tilladte værdier for den uafhængige variabel. Den codomain C _f består af alle de tilgængelige til den afhængige variabel værdier. Elementerne i C _f relateret til D _f er kendt som Range af funktionen (R _f).

Funktionskonditionering

Undertiden kan en funktion, der ikke er injektiv, underkastes visse betingelser. Disse nye forhold kan gøre det til en injektionsfunktion. Alle former for ændringer af funktionens domæne og kodomæne er gyldige, hvor målet er at opfylde injektivitetsegenskaber i det tilsvarende forhold.

Eksempler på injektionsfunktioner med løste øvelser

Eksempel 1

Lad funktionen F: R → R defineres med linjen F (x) = 2x - 3

EN:

Kilde: Forfatter.

Det bemærkes, at der for hver værdi af domænet der er et billede i codomain. Dette billede er unikt, hvilket gør F til en injektionsfunktion. Dette gælder for alle lineære funktioner (Funktioner, hvis største variabel er en).

Kilde: Forfatter.

Eksempel 2

Lad funktionen F: R → R defineres med F (x) = x ² +1

Kilde: Forfatter

Når man tegner en vandret linje, observeres det, at grafen findes ved mere end én lejlighed. På grund af dette er funktionen F ikke injektiv, så længe R → R er defineret

Vi fortsætter med at konditionere funktionen domæne:

F: R ⁺ U {0} → R

Kilde: Forfatter

Nu tager den uafhængige variabel ikke negative værdier, på denne måde undgås gentagne resultater, og funktionen F: R ⁺ U {0} → R defineret af F (x) = x ² + 1 er injektiv.

En anden homolog løsning ville være at begrænse domænet til venstre, det vil sige at begrænse funktionen til kun at tage negative og nulværdier.

Vi fortsætter med at konditionere funktionens domæne

F: R ^- U {0} → R

Kilde: Forfatter

Nu tager den uafhængige variabel ikke negative værdier, på denne måde undgås gentagne resultater, og funktionen F: R ^- U {0} → R defineret af F (x) = x ² + 1 er injektiv.

Trigonometriske funktioner har bølgelignende opførsel, hvor det er meget almindeligt at finde gentagelser af værdier i den afhængige variabel. Gennem specifik konditionering, baseret på forudgående viden om disse funktioner, kan vi indsnævre domænet for at opfylde betingelserne for injektivitet.

Eksempel 3

Lad funktionen F: → R defineres af F (x) = Cos (x)

I intervallet varierer kosinusfunktionen dens resultater mellem nul og en.

Kilde: Forfatter.

Som det ses på grafen. Det starter fra nul ved x = - π / 2 og når derefter et maksimum ved nul. Det er efter x = 0, at værdierne begynder at gentage, indtil de vender tilbage til nul ved x = π / 2. På denne måde vides det, at F (x) = Cos (x) ikke er injektionsmiddel i intervallet.

Når man studerer grafen for funktionen F (x) = Cos (x), observeres intervaller, hvor kurvens opførsel tilpasser sig injektivitetskriterierne. Såsom intervallet

Hvor funktionen varierer resultater fra 1 til -1, uden at gentage nogen værdi i den afhængige variabel.

På denne måde er funktionsfunktionen F: → R defineret af F (x) = Cos (x). Det er injektionsmiddel

Der er ikke-lineære funktioner, hvor lignende tilfælde opstår. For udtryk af rationel type, hvor nævneren indeholder mindst en variabel, er der begrænsninger, der forhindrer injektiviteten i forholdet.

Eksempel 4

Lad funktionen F: R → R defineres med F (x) = 10 / x

Funktionen er defineret for alle reelle tal undtagen {0} der har en ubestemmelse (Den kan ikke divideres med nul) .

Når den afhængige variabel nærmer sig nul fra venstre, tager den meget store negative værdier, og umiddelbart efter nul tager værdien af ​​den afhængige variabel store positive tal.

Denne forstyrrelse gør udtrykket F: R → R defineret af F (x) = 10 / x

Vær ikke injektiv.

Som det ses i de foregående eksempler, tjener udelukkelsen af ​​værdier i domænet til at "reparere" disse ubestemmelser. Vi fortsætter med at ekskludere nul fra domænet og lader start- og finish-sætene være defineret som følger:

R - {0} → R

Hvor R - {0} symboliserer realerne bortset fra et sæt, hvis eneste element er nul.

På denne måde er udtrykket F: R - {0} → R defineret af F (x) = 10 / x injektivt.

Eksempel 5

Lad funktionen F: → R defineres af F (x) = Sen (x)

I intervallet varierer sinusfunktionen sine resultater mellem nul og en.

Kilde: Forfatter.

Som det ses på grafen. Det starter fra nul ved x = 0 og når derefter et maksimum ved x = π / 2. Det er efter x = π / 2, at værdierne begynder at gentage, indtil de vender tilbage til nul ved x = π. På denne måde vides det, at F (x) = Sen (x) ikke er injektionsmiddel i intervallet.

Når man studerer grafen for funktionen F (x) = Sen (x), observeres intervaller, hvor kurvens opførsel tilpasser sig injektivitetskriterierne. Såsom intervallet

Hvor funktionen varierer resultater fra 1 til -1, uden at gentage nogen værdi i den afhængige variabel.

På denne måde er funktionen F: → R defineret af F (x) = Sen (x). Det er injektionsmiddel

Eksempel 6

Kontroller, om funktionen F: → R defineret af F (x) = Brun (x)

F: → R defineret af F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R defineret af linjen F (x) = 7x + 2

Referencer

1. Introduktion til logik og kritisk tænkning. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
2. Problemer i matematisk analyse. Piotr Biler, Alfred Witkowski. University of Wroclaw. Polen.
3. Elementer af abstrakt analyse. Mícheál O'Searcoid PhD. Institut for matematik. University college Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. Introduktion til logik og metodikken for deduktive videnskaber. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University presse.
5. Principper for matematisk analyse. Enrique Linés Escardó. Redaktionel Reverté S. A 1991. Barcelona Spanien.