TRANSCENDENTE FUNKTIONER: TYPER, DEFINITION, EGENSKABER, EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

De elementære transcendentale funktioner er de eksponentielle, logaritmiske, trigonometriske, inverse trigonometriske funktioner, hyperboliske og inverse hyperboliske funktioner. Det vil sige, de er dem, der ikke kan udtrykkes ved hjælp af et polynom, en kvotient af polynomer eller rødder af polynomer.

De ikke-elementære transcendente funktioner kaldes også specielle funktioner, og blandt dem kan fejlfunktionen navngives. De algebraiske funktioner (polynomier, kvotienter af polynomier og rødder af polynomer) sammen med de elementære transcendentale funktioner udgør det, der i matematik er kendt som elementære funktioner.

Transcendente funktioner betragtes også som dem, der er resultatet af operationer mellem transcendente funktioner eller mellem transcendente og algebraiske funktioner. Disse operationer er: summen og forskellen mellem funktioner, produkt og kvotient af funktioner, samt sammensætningen af ​​to eller flere funktioner.

Definition og egenskaber

Eksponentiel funktion

Det er en reel funktion af den reelle uafhængige variabel af formen:

f (x) = a ^ x = a ^x

hvor a er et fast positivt reelt tal (a> 0) kaldet basen. Circumflex eller superscript bruges til at betegne den potentierende operation.

Lad os sige a = 2, så ser funktionen sådan ud:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Hvilket vil blive evalueret for flere værdier af den uafhængige variabel x:

Nedenfor er en graf, hvor eksponentiel funktion er repræsenteret for flere værdier af basen, inklusive basen e (Neper nummer e ≃ 2,72). Basen e er så vigtig, at vi generelt tænker på en ^ x, som også betegnes exp (x), når vi taler om en eksponentiel funktion.

Figur 1. Eksponentiel funktion a ^ x for forskellige værdier af basen a. (Egen uddybning)

Egenskaber for den eksponentielle funktion

Fra figur 1 kan det ses, at domænet for de eksponentielle funktioner er de reelle tal (Dom f = R), og området eller banen er de positive realer (Ran f = R ⁺).

På den anden side, uanset værdien af ​​basen a, passerer alle eksponentielle funktioner gennem punktet (0, 1) og gennem punktet (1, a).

Når basen a> 1, øges funktionen, og når 0 <a <1, falder funktionen.

Kurverne for y = a ^ x og y = (1 / a) ^ x er symmetriske omkring Y-aksen.

Med undtagelse af tilfældet a = 1 er den eksponentielle funktion injektiv, det vil sige, at hver værdi af billedet svarer til én og kun en startværdi.

Logaritmisk funktion

Det er en reel funktion af reel uafhængig variabel baseret på definitionen af ​​logaritmen for et tal. Logaritmen baseret på et tal x er det antal y, som basen skal hæves til for at opnå argumentet x:

log _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Det vil sige, den logaritmefunktion, der er baseret på, er den inverse funktion af den eksponentielle funktion, der er baseret på.

For eksempel:

log ₂ 1 = 0, siden 2 ^ 0 = 1

Et andet tilfælde, log ₂ 4 = 2, fordi 2 ^ 2 = 4

Rodlogaritmen til 2 er log ₂ √2 = ½, fordi 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, da 2 ^ (- 2) = ¼

Nedenfor er en graf over logaritmefunktionen i forskellige baser.

Figur 2. Eksponentiel funktion for forskellige værdier af basen. (Egen uddybning)

Egenskaber ved logaritmefunktionen

Domænet for logaritmefunktionen y (x) = log a (x) er de positive reelle tal R +. Den rejse rækkevidde eller er reelle tal R.

Uanset basen passerer logaritmefunktionen altid gennem punktet (1,0), og punktet (a, 1) hører til grafen for den funktion.

I det tilfælde, at basen a er større end enhed (a> 1), vokser logaritmefunktionen. Men hvis (0 <a <1), er det en faldende funktion.

Sine, Cosine og tangentfunktioner

Sinusfunktionen tildeler et reelt tal og til hver x-værdi, hvor x repræsenterer målingen for en vinkel i radianer. For at opnå værdien af ​​Sen (x) af en vinkel er vinklen repræsenteret i enhedens cirkel, og projiceringen af ​​nævnte vinkel på den lodrette akse er den sinus, der svarer til den vinkel.

Den trigonometriske cirkel og sinus for forskellige vinkelværdier X1, X2, X3 og X4 er vist nedenfor (i figur 3).

Figur 3. Trigonometrisk cirkel og sinussen i forskellige vinkler. (Egen uddybning)

Defineret på denne måde er den maksimale værdi, funktionen Sen (x) kan have, 1, der opstår, når x = π / 2 + 2π n, hvor n er et heltal (0, ± 1, ± 2,). Den mindste værdi, som funktionen Sen (x) kan have, forekommer, når x = 3π / 2 + 2π n.

Kosinusfunktionen y = Cos (x) er defineret på en lignende måde, men projiceringen af ​​vinkelpositionerne P1, P2 osv. Udføres på den vandrette akse i den trigonometriske cirkel.

På den anden side er funktionen y = Tan (x) kvotienten mellem sinusfunktionen og kosinusfunktionen.

Nedenfor er en graf over de transcendente funktioner Sen (x), Cos (x) og Tan (x)

Figur 4. Graf over de transcendente funktioner Sine, Cosine og Tangent. (Egen uddybning)

Derivater og integraler

Afledt af den eksponentielle funktion

Derivatet y 'af den eksponentielle funktion y = a ^ x er funktionen a ^ x ganget med den naturlige logaritme af basen a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

I det særlige tilfælde af basis e er derivatet af den eksponentielle funktion selve eksponentielle funktion.

Integreret af den eksponentielle funktion

Det ubestemte integral af a ^ x er selve funktionen divideret med basens naturlige logaritme.

I det særlige tilfælde af basis e er integralet af den eksponentielle funktion selve eksponentielle funktion.

Tabel over derivater og integraler af transcendente funktioner

Nedenfor er en oversigtstabel over de vigtigste transcendente funktioner, deres derivater og ubestemte integraler (antiderivativer):

Tabel over derivater og ubegrænsede integraler til nogle transcendente funktioner. (Egen uddybning)

eksempler

Eksempel 1

Find den funktion, der er resultatet af sammensætningen af ​​funktionen f (x) = x ^ 3 med funktionen g (x) = cos (x):

(tåge) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Dets derivat og dets ubestemte integral er:

Eksempel 2

Find sammensætningen af ​​funktionen g med funktionen f, hvor g og f er de funktioner, der er defineret i det forrige eksempel:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³)

Det skal bemærkes, at sammensætningen af ​​funktioner ikke er en kommutativ operation.

Derivatet og det ubestemte integral for denne funktion er henholdsvis:

Integralet blev angivet, fordi det ikke er muligt at skrive resultatet som en kombination af elementære funktioner nøjagtigt.

Referencer

1. Beregning af en enkelt variabel. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. nov 2008
2. Den implicitte funktionsteorem: Historie, teori og applikationer. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. nov. 2012
3. Multivariabel analyse. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. december. 2010
4. Systemdynamik: modellering, simulering og styring af mekatroniske systemer. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. mar 2012
5. Calculus: Matematik og modellering. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. jan 1999
6. wikipedia. Transcendent funktion. Gendannet fra: es.wikipedia.com