ANALYTISK GEOMETRI: HVAD DEN STUDERER, HISTORIE, APPLIKATIONER - MATEMATIK - 2025

Den analytiske geometri studerer linjer og geometriske former ved at anvende basale algebra-teknikker og matematisk analyse i et givet koordinatsystem.

Følgelig er analytisk geometri en gren af ​​matematik, der i detaljer analyserer alle data fra geometriske figurer, det vil sige volumen, vinkler, område, skæringspunkter, deres afstande, blandt andre.

Det grundlæggende kendetegn ved analytisk geometri er, at det muliggør repræsentation af geometriske figurer gennem formler.

For eksempel er omkretserne repræsenteret ved polynomiske ligninger i den anden grad, mens linierne udtrykkes ved polynomiske ligninger i den første grad.

Analytisk geometri opstår i det syttende århundrede på grund af behovet for at give svar på problemer, der hidtil ikke havde nogen løsning. Dets øverste repræsentanter var René Descartes og Pierre de Fermat.

I dag peger mange forfattere på det som en revolutionerende skabelse i matematikens historie, da det repræsenterer begyndelsen på moderne matematik.

Historisk analyse geometri

Udtrykket analytisk geometri opstod i Frankrig i det syttende århundrede på grund af behovet for at give svar på problemer, der ikke kunne løses ved hjælp af algebra og geometri isoleret, men løsningen lå i den kombinerede anvendelse af begge.

Hovedrepræsentanter for analytisk geometri

I det syttende århundrede udførte to franske tilfældigt i livet forskning, der på en eller anden måde endte med oprettelsen af ​​analytisk geometri. Disse mennesker var Pierre de Fermat og René Descartes.

På nuværende tidspunkt betragtes det som skaberen af ​​analytisk geometri var René Descartes. Dette skyldes det faktum, at han udgav sin bog før Fermats og også i dybden med Descartes om emnet analytisk geometri.

Både Fermat og Descartes opdagede imidlertid, at linjer og geometriske figurer kunne udtrykkes ved ligninger, og ligninger kunne udtrykkes som linjer eller geometriske figurer.

I henhold til de opdagelser, de to har fundet, kan det siges, at begge er skabere af analytisk geometri.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat var en fransk matematiker, der blev født i 1601 og døde i 1665. I løbet af hans liv studerede han geometrien til Euclid, Apollonius og Pappus for at løse de måleproblemer, der eksisterede på det tidspunkt.

Senere udløste disse undersøgelser oprettelsen af ​​geometri. De endte med at blive udtrykt i hans bog "Introduktion til flade og solide steder" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), som blev udgivet 14 år efter hans død i 1679.

Pierre de Fermat anvendte analytisk geometri på Apollonius's sætninger om geometriske steder i 1623. Han var også den første til at anvende analytisk geometri på tredimensionelt rum.

Rene Descartes

Også kendt som Cartesius, var han en matematiker, fysiker og filosof, der blev født den 31. marts 1596 i Frankrig og døde i 1650.

René Descartes udgav i 1637 sin bog "Diskurs om metoden til at udføre fornuft korrekt og søge sandheden i videnskaben" bedre kendt som "Metoden" og derfra blev begrebet analytisk geometri introduceret til verden. En af dens bilag var "Geometri."

Grundlæggende elementer i analytisk geometri

Analytisk geometri består af følgende elementer:

Det kartesiske koordinatsystem

Dette system er opkaldt efter René Descartes.

Han var ikke den, der navngav det, heller ikke den, der afsluttede det kartesiske koordinatsystem, men han var den, der talte om koordinater med positive tal, der gjorde det muligt for fremtidige lærde at gennemføre det.

Dette system er sammensat af det rektangulære koordinatsystem og det polære koordinatsystem.

Rektangulære koordinatsystemer

Rektangulære koordinatsystemer kaldes det plan, der er dannet af konturen af ​​to talelinjer vinkelret på hinanden, hvor afskæringspunktet falder sammen med det fælles nul.

Derefter vil dette system være sammensat af en vandret linje og en lodret linie.

Den vandrette linje er X-aksen eller Abscissa-aksen. Den lodrette linje vil være Y-aksen eller ordinataksen.

Polært koordinatsystem

Dette system har ansvaret for at verificere den relative position af et punkt i forhold til en fast linje og til et fast punkt på linjen.

Cartesianske ligning af linjen

Denne ligning opnås fra en linje, når der kendes to punkter, gennem hvilke den passerer.

Lige linje

Det er en, der ikke afviger og derfor hverken har kurver eller vinkler.

keglesnit

Det er kurverne defineret af de linjer, der passerer gennem et fast punkt og af kurvens punkter.

Ellipsen, omkredsen, parabolen og hyperbola er koniske kurver. Hver af dem er beskrevet nedenfor.

Omkreds

Omkrets kaldes den lukkede plankurve, der dannes af alle punkterne i planet, der er ligevægt fra et indre punkt, det vil sige fra centrum af omkredsen.

Lignelsen

Det er lokationen for punkterne i planet, der er ens afstand fra et fast punkt (fokus) og en fast linje (directrix). Så direkte og fokus er det, der definerer parabolen.

Parabolen kan opnås som et snit af en konisk omdrejningsoverflade gennem et plan parallelt med en generatrix.

Ellipse

En ellipse er den lukkede kurve, der beskriver et punkt, der bevæger sig i et plan på en sådan måde, at summen af ​​dets afstande til to (2) faste punkter (kaldet foci) er konstant.

hyperbel

En hyperbola kaldes kurven defineret som locus for punkterne i planet, hvor forskellen mellem afstandene til to faste punkter (foci) er konstant.

Hyperbolaen har en symmetriakse, der passerer gennem fokuserne, kaldet fokale akse. Den har også en anden, som er halvdel af segmentet, der har de faste punkter i dens ender.

Applikationer

Der er mange anvendelser af analytisk geometri inden for forskellige områder af det daglige liv. For eksempel kan vi finde parabolen, et af de grundlæggende elementer i den analytiske geometri, i mange af de værktøjer, der bruges dagligt i dag. Nogle af disse værktøjer er som følger:

Parabol

Parabolantenner har en reflektor genereret som et resultat af en parabola, der roterer på antennen på nævnte antenne. Den overflade, der genereres som et resultat af denne handling, kaldes en paraboloid.

Paraboloidets evne kaldes en optisk egenskab eller refleksionsegenskab for en parabola, og takket være dette er det muligt for paraboloidet at reflektere de elektromagnetiske bølger, den modtager fra tilførselsmekanismen, der udgør antennen.

Hængende broer

Når et reb understøtter en vægt, der er homogen, men på samme tid er betydeligt større end vægten af ​​selve rebet, vil resultatet være en parabola.

Dette princip er grundlæggende for konstruktion af hængebroer, som normalt understøttes af brede stålkabelstrukturer.

Parabolens princip i hængebroer er blevet brugt i strukturer som Golden Gate Bridge, der ligger i byen San Francisco, i USA eller den store bro af Akashi-strædet, som er beliggende i Japan og forbinder øen Awaji med Honshū, landets vigtigste ø.

Astronomisk analyse

Analytisk geometri har også haft meget specifikke og afgørende anvendelser inden for astronomi. I dette tilfælde er elementet i analytisk geometri, der tager centrum, ellipsen; Johannes Keplers lov om bevægelse af planeterne afspejler dette.

Kepler, en tysk matematiker og astronom, bestemte, at ellipsen var den kurve, der bedst passede Mars's bevægelse; Han havde tidligere testet den cirkulære model, som Copernicus havde foreslået, men midt i sine eksperimenter udledte han, at ellipsen tjente til at tegne en bane, der var perfekt svarende til planeten, han studerede.

Takket være ellipsen kunne Kepler bekræfte, at planeterne bevægede sig i elliptiske bane; denne overvejelse var udsagnet om den såkaldte anden lov af Kepler.

Fra denne opdagelse, der senere blev beriget af den engelske fysiker og matematiker Isaac Newton, var det muligt at studere planeternes orbitationsbevægelser og øge den viden, der var haft om det univers, som vi er en del af.

Cassegrain-teleskop

Cassegrain-teleskopet er opkaldt efter sin opfinder, den franskfødte fysiker Laurent Cassegrain. I dette teleskop bruges principperne for analytisk geometri, fordi det hovedsageligt er sammensat af to spejle: den første er konkave og paraboliske, og den anden er kendetegnet ved at være konveks og hyperbol.

Placeringen og arten af ​​disse spejle tillader, at defekten, der er kendt som sfærisk afvigelse, ikke finder sted; Denne defekt forhindrer, at lysstråler reflekteres i fokus for en given linse.

Cassegrain-teleskopet er meget nyttigt til planetarisk observation og er ret alsidigt og let at bruge.

Referencer

1. Analytisk geometri. Hentet den 20. oktober 2017 fra britannica.com
2. Analytisk geometri. Hentet den 20. oktober 2017 fra encyclopediafmath.org
3. Analytisk geometri. Hentet den 20. oktober 2017 fra khancademy.org
4. Analytisk geometri. Hentet den 20. oktober 2017 fra wikipedia.org
5. Analytisk geometri. Hentet den 20. oktober 2017 fra whitman.edu
6. Analytisk geometri. Hentet den 20. oktober 2017 fra stewartcalculus.com
7. Plananalytisk geometri hentet den 20. oktober 2017