EUKLIDISK GEOMETRI: HISTORIE, GRUNDLÆGGENDE KONCEPTER OG EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

De euklidiske geometri svarer til studiet af egenskaberne af geometriske rum, hvor Euklids aksiomer er opfyldt. Selvom dette udtryk undertiden bruges til at dække geometrier, der har højere dimensioner med lignende egenskaber, er det generelt synonymt med klassisk geometri eller plangeometri.

I det III århundrede a. C. Euclides og hans disciple skrev elementerne, et værk, der omfattede den matematiske viden om den tid, der var udstyret med en logisk-deduktiv struktur. Siden blev geometri en videnskab, oprindeligt til at løse klassiske problemer og udviklet sig til at være en formativ videnskab, der hjælper fornuft.

Historie

For at tale om den euklidiske geometri er det vigtigt at starte med Euklid fra Alexandria og elementerne.

Da Egypten blev efterladt i hænderne på Ptolemeus I, efter Alexander den Store død, begyndte han sit projekt på en skole i Alexandria.

Blandt vismændene, der underviste på skolen, var Euclid. Det spekuleres i, at hans fødsel stammer fra ca. 325 f.Kr. C. og hans død på 265 a. C. Vi kan med sikkerhed vide, at han gik på Platons skole.

I mere end tredive år underviste Euclid i Alexandria og byggede dets berømte elementer: Han begyndte at skrive en udtømmende beskrivelse af sin tids matematik. Euclids lære frembragte fremragende disciple, såsom Archimedes og Apollonius fra Perga.

Euclid var ansvarlig for at strukturere de forskellige opdagelser fra de gamle grækere i elementerne, men i modsætning til sine forgængere begrænser han sig ikke til at bekræfte, at et sætning er sandt; Euclid tilbyder en demonstration.

Elementerne er et kompendium af tretten bøger. Efter Bibelen er det den mest udgivne bog med mere end tusinde udgaver.

Euclids elementer

Elementerne er Euclids mesterværk inden for geometriområdet og tilbyder en endelig behandling af geometrien af ​​to dimensioner (planet) og tre dimensioner (plads), hvilket er oprindelsen til det, vi nu kender som euklidisk geometri.

Basale koncepter

Elementerne består af definitioner, almindelige forestillinger og postulater (eller aksiomer) efterfulgt af sætninger, konstruktioner og bevis.

- Et punkt er det, der ikke har dele.

- En linje er en længde, der ikke har nogen bredde.

- En lige linje er en, der ligger lige i forhold til de punkter, der er i den.

- Hvis to linier skæres, så de tilstødende vinkler er lige, kaldes vinklerne lige linjer, og linjerne kaldes vinkelret.

- Parallelle linjer er de, der, når de befinder sig i samme plan, aldrig krydser hinanden.

Efter disse og andre definitioner præsenterer Euclid os med en liste over fem postulater og fem forestillinger.

Almindelige forestillinger

- To ting, der er lig med en tredjedel, er ens.

- Hvis de samme ting føjes til de samme ting, er resultaterne de samme.

- Hvis lige ting fratrækkes lige store ting, er resultaterne lige.

- Ting, der matcher hinanden, er lig med hinanden.

- Det samlede antal er større end en del.

Postulater eller aksiomer

- Én og kun en linje passerer gennem to forskellige punkter.

- Lige linjer kan forlænges på ubestemt tid.

- Du kan tegne en cirkel med ethvert centrum og enhver radius.

- Alle rette vinkler er ens.

- Hvis en lige linje krydser to lige linjer, så de indvendige vinkler på samme side tilføjer mindre end to rette vinkler, krydser de to linjer på den side.

Dette sidste postulat kaldes det parallelle postulat og blev omformuleret på følgende måde: "For et punkt uden for en linje kan en enkelt parallel til den givne linje tegnes."

eksempler

Dernæst tjener nogle sætninger af elementerne til at vise egenskaber for geometriske rum, hvor de fem postulater af Euclid er opfyldt; Derudover vil de illustrere den logisk-deduktive ræsonnement, som denne matematiker bruger.

Første eksempel

Forslag 1.4. (LAL)

Hvis to trekanter har to sider, og vinklen mellem dem er ens, er de andre sider og de andre vinkler lige.

Demonstration

Lad ABC og A'B'C 'være to trekanter med AB = A'B', AC = A'C 'og vinklerne BAC og B'A'C' lige. Lad os flytte trekant A'B'C ', så A'B' falder sammen med AB, og den vinkel B'A'C 'falder sammen med vinklen BAC.

Så linje A'C falder sammen med linje AC, så C 'falder sammen med C. Derefter, efter postulat 1, skal linje BC falde sammen med linje B'C'. Derfor falder de to trekanter sammen, og følgelig er deres vinkler og deres sider lige.

Andet eksempel

Forslag 1.5. (

Antag, at trekant ABC har lige sider AB og AC.

Så trekanterne ABD og ACD har to lige sider, og vinklerne mellem dem er ens. Ved hjælp af Proposition 1.4 er vinklerne ABD og ACD således ens.

Tredje eksempel

Forslag 1.31

Du kan konstruere en linje parallel med en linje, der er givet af et givet punkt.

Bygning

Givet en linje L og et punkt P, trækkes en linje M gennem P og skæres L. Derefter trækkes en linje N gennem P, der skærer L. Nu tegnes en linje N gennem P, der skærer M, danner en vinkel, der er lig med den, som L danner med M.

Affirmation

N er parallel med L.

Demonstration

Antag, at L og N ikke er parallelle og skærer hinanden i et punkt A. Lad B være et punkt i L ud over A. Lad os overveje linjen O, der passerer gennem B og P. Derefter skærer O M i vinkler, der tilføjer op til mindre end to lige.

Derefter skal 1,5 og linien O krydse linjen L på den anden side af M, så L og O krydses ved to punkter, hvilket er i modstrid med postulat 1. Derfor skal L og N være parallelle.

Referencer

1. Euklid, elementer i geometri. National Autonomous Mexico of Mexico
2. Euklid. De første seks bøger og den ellevte og tolvte del af Euclids elementer
3. Eugenio Filloy Yague. Didaktik og historie om euklidisk geometri, Grupo Redaktion Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Matematikens historie. Mir Redaktion
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Redaktionel Venezolana CA