- Eksempler på grad af polynom
- Tabel 1. Eksempler på polynomer og deres grader
- Procedure til arbejde med polynomer
- Bestil, reducer og fuldfør et polynom
- Betydningen af graden af et polynom i tillæg og subtraktion
- Løst øvelser
- - Træning løst 1
- Løsning
- - Træning løst 2
- Løsning
- Referencer
Den grad af et polynomium i en variabel er givet ved det udtryk, der har den største eksponent, og hvis polynomiet har to eller flere variable, så graden bestemmes ved summen af eksponenter for hvert udtryk, jo større sum er graden af polynomet.
Lad os se, hvordan du bestemmer graden af polynomet på en praktisk måde.
Figur 1. Einsteins berømte ligning for energi E er et monomial med absolut grad 1 for den variable masse, betegnet med m, da lysets hastighed betragtes som konstant. Kilde: Piqsels.
Antag, at polynomet P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2. Dette polynom er en variabel, i dette tilfælde er det variablen x. Dette polynom består af flere udtryk, der er følgende:
Og hvad er nu eksponenten? Svaret er 3. Derfor er P (x) et polynomium i grad 3.
Hvis det pågældende polynom har mere end en variabel, kan graden være:
-Absolut
-I forhold til en variabel
Den absolutte grad findes som forklaret i starten: tilføjelse af eksponenterne for hver sigt og valg af den største.
I stedet er graden af polynomet med hensyn til en af variablerne eller bogstaverne den største værdi af eksponenten, som nævnte brev har. Pointen vil blive tydeligere med eksemplerne og de løste øvelser i de følgende afsnit.
Eksempler på grad af polynom
Polynomier kan klassificeres efter grad og kan være første grad, anden grad, tredje grad og så videre. I eksemplet i figur 1 er energi et monomialt niveau i første grad for masse.
Det er også vigtigt at bemærke, at antallet af udtryk, som et polynom har, er lig med grad plus 1. Således:
-Første grad polynomier har 2 udtryk: a 1 x + a o
-Polynomiet i anden grad har 3 udtryk: a 2 x 2 + a 1 x + a o
-En tredje grad polynom har 4 udtryk: en 3 x 3 + en 2 x 2 + a 1 x + a eller
Og så videre. Den omhyggelige læser vil have bemærket, at polynomierne i de foregående eksempler er skrevet i faldende form, dvs. at placere udtrykket med den største grad først.
Følgende tabel viser forskellige polynomer, både af en og adskillige variabler og deres respektive absolutte grader:
Tabel 1. Eksempler på polynomer og deres grader
| polynomial | Grad |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | en |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 og 5 + 5x 2 og 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
De sidste to polynomer har mere end en variabel. Af disse er udtrykket med den højeste absolutte grad fremhævet med fed skrift, så læseren hurtigt kan kontrollere graden. Det er vigtigt at huske, at når variablen ikke har en skriftlig eksponent, forstås det, at eksponenten er lig med 1.
For eksempel er der i det fremhævede udtryk ab 3 x 2 tre variabler, nemlig: a, b og x. I dette udtryk hæves a til 1, det vil sige:
a = a 1
Derfor er ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Da eksponenten af b er 3 og x er 2, følger det med det samme, at graden af dette udtryk er:
1 + 3 + 2 = 6
Y er den absolutte grad af polynomet, da ingen anden betegnelse har en højere grad.
Procedure til arbejde med polynomer
Når man arbejder med polynomer er det vigtigt at være opmærksom på dens grad, da det først og før udførelsen af operationen er praktisk at følge disse trin, hvor graden giver meget vigtig information:
-Ordre polynomet af præference i faldende retning. Således er udtrykket med den højeste grad til venstre, og udtrykket med den laveste grad er til højre.
-Reducer lignende udtryk, en procedure, der består i at tilføje algebraisk alle udtryk for den samme variabel og grad, der findes i udtrykket.
-Hvis nødvendigt er polynomerne udfyldt ved at indsætte udtryk, hvis koefficient er 0, hvis der mangler termer med en eksponent.
Bestil, reducer og fuldfør et polynom
I betragtning af polynomet P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, bliver det bedt om at bestille det i faldende rækkefølge, reducere lignende vilkår, hvis der er nogen, og udfyld de manglende vilkår hvis nøjagtig.
Den første ting man skal kigge efter er udtrykket med den største eksponent, som er graden af polynomet, hvilket viser sig at være:
x 7
Derfor er P (x) af grad 7. Derefter ordnes polynomet, startende med dette udtryk til venstre:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7 -12
Nu reduceres lignende vilkår, som er følgende: - 2x og 3x på den ene side. Og 7 og -12 på den anden. For at reducere dem tilføjes koefficienterne algebraisk, og variablen forbliver uændret (hvis variablen ikke vises ved siden af koefficienten, skal du huske at x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Udskift disse resultater i P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
Og til sidst undersøges polynomet for at se, om en eksponent mangler, og faktisk, et udtryk, hvis eksponent mangler 6, derfor afsluttes det med nuller som dette:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Nu observeres det, at polynomiet havde 8 udtryk, da antallet af udtryk som nævnt er lig med grad + 1.
Betydningen af graden af et polynom i tillæg og subtraktion
Med polynomer kan du udføre additions- og subtraktionsoperationer, hvor kun lignende termer tilføjes eller subtraheres, hvilket er dem med samme variabel og samme grad. Hvis der ikke er ensbetegnelser, angives tilføjelse eller subtraktion blot.
Når tilføjelsen eller subtraktionen er blevet udført, hvor sidstnævnte er summen af det modsatte, er graden af det resulterende polynom altid lig med eller mindre end graden af det polynom, der tilføjer den højeste grad.
Løst øvelser
- Træning løst 1
Find følgende sum, og bestemm dens absolutte grad:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Løsning
Det er et polynom med to variabler, så det er praktisk at reducere lignende udtryk:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2 x 3
Begge udtryk er i grad 3 i hver variabel. Derfor er den absolutte grad af polynomet 3.
- Træning løst 2
Udtrykk området for den følgende plane geometriske figur som et polynom (figur 2 til venstre). Hvad er graden af det resulterende polynom?
Figur 2. Til venstre, figuren for den løste øvelse 2 og til højre, den samme figur nedbrydes i tre områder, hvis udtryk er kendt. Kilde: F. Zapata.
Løsning
Da det er et område, skal det resulterende polynom være i grad 2 i variablen x. For at bestemme et passende udtryk for området nedbrydes figuren til kendte områder:
Arealet af et rektangel og en trekant er henholdsvis: base x højde og base x højde / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Bemærk: Trekantens base er 3x - x = 2x, og dens højde er 5.
Nu tilføjes de tre opnåede udtryk, med dette har vi området for figuren som en funktion af x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Referencer
- Baldor, A. 1974. Elementær algebra. Kulturelle Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Wikibooks. Polynomier. Gendannes fra: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Grad (polynom). Gendannet fra: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. Mac Graw Hill.