HEPTADECAGON: EGENSKABER, DIAGONALER, OMKREDS, OMRÅDE - MATEMATIK

Den heptadecagon er en regulær polygon med 17 sider og 17 knudepunkter. Dens konstruktion kan udføres i euklidisk stil, dvs. kun ved hjælp af lineal og kompas. Det var det store matematiske geni Carl Friedrich Gauss (1777-1855), knap 18 år gammel, der fandt proceduren for dens konstruktion i 1796.

Tilsyneladende var Gauss altid meget tilbøjelig til denne geometriske figur, i en sådan grad, at fra den dag, hvor han opdagede dens konstruktion, besluttede han at være matematiker. Det siges også, at han ønskede, at heptadecagon skulle blive indgraveret på hans gravsten.

Figur 1. Heptadecagon er en regelmæssig polygon med 17 sider og 17 vertikater. Kilde: F. Zapata.

Gauss fandt også formlen til at bestemme, hvilke regelmæssige polygoner der har mulighed for at blive konstrueret med lineal og kompas, da nogle ikke har nøjagtig euklidisk konstruktion.

Karakteristika for heptadecagon

Som dets egenskaber, som enhver polygon, er summen af dens indre vinkler vigtig. I en regelmæssig polygon med n sider gives summen ved:

Denne sum, udtrykt i radianer, ser sådan ud:

Fra de ovennævnte formler kan det let udledes, at hver indre vinkel i en heptadecagon har et nøjagtigt mål α givet af:

Det følger heraf, at den indre vinkel omtrent er:

Diagonaler og omkreds

Diagonaler og omkreds er andre vigtige aspekter. I en hvilken som helst polygon er antallet af diagonaler:

D = n (n - 3) / 2 og for heptadecagon, som n = 17, har vi så, at D = 119 diagonaler.

På den anden side, hvis længden på hver side af heptadecagon er kendt, findes omkredsen af den almindelige heptadecagon blot ved at tilføje 17 gange den længde, eller hvad der svarer til 17 gange længden d på hver side:

P = 17 d

Heptadecagonens omkreds

Nogle gange er kun radius r for heptadecagon kendt, så det er nødvendigt at udvikle en formel til dette tilfælde.

Med henblik herpå introduceres begrebet apotem. Apoten er det segment, der går fra midten af den regulære polygon til midtpunktet på den ene side. Apotem i forhold til den ene side er vinkelret på den side (se figur 2).

Figur 2. Delerne af en regelmæssig polygon med radius r og dens afstand er vist. (Egen uddybning)

Endvidere er apotemet en halvering af vinklen med den midterste toppunkt og sider på to på hinanden følgende vertikater af polygonen, hvilket gør det muligt at finde et forhold mellem radius r og siden d.

Hvis den centrale vinkel DOE er denomineret β og under hensyntagen til at apotem OJ er en bisector, har vi EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), hvorfra vi har et forhold til at finde længden d på siden af en polygon kendt sin radius r og sin centrale vinkel β:

d = 2 r Sen (ß / 2)

I tilfælde af heptadecagon β = 360º / 17 har vi:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Endelig opnås formlen for omkredsen af heptadecagon, kendt som dens radius:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r

Omkretsen af en heptadecagon er tæt på omkredsen, der omgiver den, men dens værdi er mindre, dvs. omkredsen af den omskrevne cirkel er Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

Areal

For at bestemme området for heptadecagon vil vi henvise til figur 2, der viser siderne og apotemet på en regelmæssig polygon med n sider. I denne figur har trekanten EOD et areal, der er lig med basen d (siden af polygonen) gange højden a (polygonens apotem) divideret med 2:

EOD-område = (dxa) / 2

Så hvis man kender apotem a fra heptadecagon og side d af det samme, er dens område:

Heptadecagon-område = (17/2) (dxa)

Område givet side

For at få en formel for området med heptadecagon ved at kende længden af dets sytten sider, er det nødvendigt at opnå et forhold mellem længden af apotem a og siden d.

Under henvisning til figur 2 opnås følgende trigonometriske forhold:

Brun (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, hvor β er den centrale vinkel DOE. Så apotemet kan beregnes, hvis længden d på siden af polygonen og den midterste vinkel ß er kendt:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Hvis dette udtryk nu er erstattet med apotemet i formlen for området for heptadecagon opnået i det foregående afsnit, har vi:

Heptadecagon-område = (17/4) (d ²) Cotan (β / 2)

At være β = 360º / 17 for heptadecagon, så vi har endelig den ønskede formel:

Heptadecagon-område = (17/4) (d ²) Cotan (180º / 17)

Område givet radius

I de foregående sektioner var der fundet et forhold mellem siden af en regelmæssig polygon og dens radius r, hvilket forhold var følgende:

d = 2 r Sen (ß / 2)

Dette udtryk for d indsættes i det udtryk, der blev opnået i det foregående afsnit for området. Hvis de relevante substitutioner og forenklinger foretages, opnås den formel, der tillader beregning af heptadecagonens område:

Heptadecagon-område = (17/2) (r ²) Sen (β) = (17/2) (r ²) Sen (360º / 17)

Et omtrentlig udtryk for området er:

Heptadecagon-område = 3.0706 (r ²)

Som forventet er dette område lidt mindre end området med cirklen, der omskriver heptadecagon A _circ = π r ² ≈ 3.1416 r ². For at være præcis er det 2% mindre end for dets omskrevne cirkel.

eksempler

Eksempel 1

For at besvare spørgsmålet er det nødvendigt at huske forholdet mellem siden og radius for en regelmæssig n-sidet polygon:

d = 2 r Sen (180º / n)

For heptadecagon n = 17, så d = 0,3675 r, dvs. heptadecagonens radius er r = 2 cm / 0,3675 = 5.4423 cm eller

10,8844 cm i diameter.

Omkretsen af en 2 cm lang heptadecagon er P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Eksempel 2

Vi skal henvise til formlen vist i det foregående afsnit, som giver os mulighed for at finde området for en heptadecagon, når den har længden d på sin side:

Heptadecagon-område = (17/4) (d ²) / Brun (180º / 17)

Ved at erstatte d = 2 cm i den forrige formel opnår vi:

Areal = 90,94 cm

Referencer

CEA (2003). Geometrielementer: med øvelser og kompassgeometri. University of Medellin.
Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Redaktionel Patria.
Freed, K. (2007). Oplev polygoner. Benchmark Education Company.
Hendrik, V. (2013). Generaliserede polygoner. Birkhäuser.
Iger. (Sf). Matematik Første semester Tacaná. Iger.
Jr. geometri. (2014). Polygoner. Lulu Press, Inc.
Miller, Heerenveen og Hornsby. (2006). Matematik: Begrundelse og applikationer (tiende udgave). Pearson Uddannelse.
Patiño, M. (2006). Matematik 5. Redaktionel Progreso.
Sada, M. 17-sidet regelmæssig polygon med lineal og kompas. Gendannet fra: geogebra.org
Wikipedia. Heptadecagon. Gendannet fra: es.wikipedia.com

HEPTADECAGON: EGENSKABER, DIAGONALER, OMKREDS, OMRÅDE - MATEMATIK - 2025