- Hvad er dimensionerne?
- Tredimensionelt rum
- Den fjerde dimension og tid
- Koordinaterne for en hypercube
- Udfoldelse af en hypercube
- Referencer
En hypercube er en terning med dimension n. Det særlige tilfælde af den fire-dimensionelle hypercube kaldes en tesseract. En hypercube eller n-cube består af lige segmenter, alle med samme længde, der er vinkelret på deres hjørner.
Mennesker opfatter tredimensionelt rum: bredde, højde og dybde, men det er ikke muligt for os at visualisere en hypercube med en dimension større end 3.
Figur 1. En 0-terning er et punkt, hvis dette punkt strækker sig i en retning, en afstand a danner en 1-terning, hvis denne 1-terning strækker sig en afstand a i den ortogonale retning, har vi en 2-terning (fra siderne x til a), hvis 2-terningen strækker sig en afstand a i den vinkelrette retning, har vi en 3-terning. Kilde: F. Zapata.
Højst kan vi lave fremspring af det i tredimensionelt rum for at repræsentere det, på en lignende måde som hvordan vi projicerer en terning på et plan for at repræsentere det.
I dimension 0 er det eneste tal punktet, så en 0-terning er et punkt. En 1-terning er et lige segment, der dannes ved at bevæge et punkt i en retning i afstand a.
På sin side er en 2-terning en firkant. Det er konstrueret ved at flytte 1-terningen (segmentet af længde a) i y-retningen, der er vinkelret på x-retningen, en afstand a.
3-terningen er den fælles terning. Det er bygget fra kvadratet ved at bevæge det i den tredje retning (z), som er vinkelret på x- og y-retningen, en afstand a.
Figur 2. En 4-terning (tesseract) er udvidelsen af en 3-terning i den ortogonale retning til de tre konventionelle rumlige retninger. Kilde: F. Zapata.
4-terningen er tesserakten, der er bygget fra en 3-terning, der bevæger den ortogonalt, en afstand a, mod en fjerde dimension (eller fjerde retning), som vi ikke kan opfatte.
En tesserakt har alle sine rette vinkler, den har 16 hjørner, og alle kanter (i alt 18) har samme længde a.
Hvis længden af kanterne på en n-terning eller en hypercube med dimension n er 1, er det en enhedshyperbit, hvor den længste diagonal måler √n.
Figur 3. En n-terning opnås fra en (n-1) -kube, der strækker den ortogonalt i den næste dimension. Kilde: wikimedia commons.
Hvad er dimensionerne?
Dimensioner er frihedsgraderne eller de mulige retninger, som et objekt kan bevæge sig i.
I dimension 0 er der ingen mulighed for at oversætte, og det eneste mulige geometriske objekt er punktet.
En dimension i det euklidiske rum er repræsenteret af en orienteret linje eller akse, der definerer denne dimension, kaldet X-aksen. Adskillelsen mellem to punkter A og B er den euklidiske afstand:
d = √.
I to dimensioner er rum repræsenteret af to linjer orienteret vinkelret på hinanden, kaldet X-aksen og Y-aksen.
Placeringen af ethvert punkt i dette todimensionelle rum er givet af dets par kartesiske koordinater (x, y), og afstanden mellem de to punkter A og B vil være:
d = √
Fordi det er et rum, hvor Euclids geometri er opfyldt.
Tredimensionelt rum
Tredimensionelt rum er det rum, vi bevæger os i. Det har tre retninger: bredde, højde og dybde.
I et tomt rum giver de vinkelrette hjørner disse tre retninger, og til hver enkelt kan vi knytte en akse: X, Y, Z.
Dette rum er også euklidisk, og afstanden mellem to punkter A og B beregnes som følger:
d = √
Mennesker kan ikke opfatte mere end tre rumlige (eller euklidiske) dimensioner.
Fra et strengt matematisk synspunkt er det imidlertid muligt at definere et n-dimensionelt euklidisk rum.
I dette rum har et punkt koordinater: (x1, x2, x3,….., xn), og afstanden mellem to punkter er:
d = √.
Den fjerde dimension og tid
Faktisk i relativitetsteorien behandles tiden som en yderligere dimension, og en koordinat er forbundet med den.
Men det må præciseres, at denne koordinat, der er forbundet med tiden, er et imaginært tal. Derfor er adskillelsen af to punkter eller begivenheder i rumtid ikke euklidisk, men følger snarere Lorentz-metrikken.
En firdimensionel hypercube (tesserakten) lever ikke i rumtid, den hører til et firedimensionelt euklidisk hyperrum.
Figur 4. 3D-projektion af en firdimensionel hypercube i simpel rotation omkring et plan, der deler figuren fra forreste til venstre, tilbage til højre og fra top til bund. Kilde: Wikimedia Commons.
Koordinaterne for en hypercube
Koordinaterne af vertikuerne på en n-terning centreret ved oprindelsen opnås ved at udføre alle mulige permutationer af følgende udtryk:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Hvor a er længden på kanten.
-Den volumen af en n-terning af kant a er: (a / 2) n (2 n) = a n.
-Den længste diagonal er afstanden mellem modsatte hjørner.
-Følgende er modsatte vertikater i en firkant: (-1, -1) og (+1, +1).
-Og i en terning: (-1, -1, -1) og (+1, +1, +1).
-Den længste diagonal af en n-terning måler:
d = √ = √ = 2√n
I dette tilfælde antog man, at siden var a = 2. For en n-terning side til enhver vil det være:
d = a√n.
-En tesseract har hver af sine 16 hjørner forbundet med fire kanter. Den følgende figur viser, hvordan knudepunkter er forbundet i en tesserakt.
Figur 5. De 16 vertikater i en firedimensionel hypercube, og hvordan de er forbundet, er vist. Kilde: Wikimedia Commons.
Udfoldelse af en hypercube
En regelmæssig geometrisk figur, for eksempel en polyhedron, kan udfoldes til flere figurer med mindre dimensionalitet.
I tilfælde af en 2-terning (en firkant) kan den opdeles i fire segmenter, dvs. fire 1-terninger.
Tilsvarende kan en 3-terning udfoldes i seks 2-terninger.
Figur 6. En n-terning kan udfoldes i flere (n-1) -rør. Kilde: Wikimedia Commons.
En 4-terning (tesseract) kan udfoldes i otte 3-terninger.
Følgende animation viser udfoldelsen af en tesseract.
Figur 7. En 4-dimensionel hypercube kan udfoldes i otte tredimensionelle terninger. Kilde: Wikimedia Commons.
Figur 8. Tredimensionel projektion af en firdimensionel hypercube, der udfører en dobbelt rotation omkring to ortogonale planer. Kilde: Wikimedia Commons.
Referencer
- Videnskabelig kultur. Hypercube, visualisering af den fjerde dimension. Gendannes fra: culturacientifica.com
- Epsilons. Firedimensionel hypercube eller tesseract. Gendannes fra: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. En metode til opnåelse af en tesseract fra udviklingen af en hypercube (4D). Gendannet fra: researchgate.net
- Wikibooks. Matematik, polyhedra, hypercubes. Gendannet fra: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hyperkubus. Gendannet fra: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Gendannet fra: en.wikipedia.com