HOMOTHECY: EGENSKABER, TYPER OG EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

Den dilatation er en geometrisk ændring i det plan, der fra et fast punkt kaldet centrum (O), er afstandene multipliceret med en fælles faktor. På denne måde svarer hvert punkt P til et andet punkt P 'produkt af transformationen, og disse er på linje med punkt O.

Så homothecy er en korrespondance mellem to geometriske figurer, hvor de transformerede punkter kaldes homotetisk, og disse er på linje med et fast punkt og med segmenter parallelle med hinanden.

Homothecy

Homothecy er en transformation, der ikke har et kongruent billede, fordi der fra en figur opnås en eller flere figurer af større eller mindre størrelse end den originale figur; det vil sige, at homothecy omdanner en polygon til en anden lignende.

For at homothecien skal opfyldes, skal punkt til punkt og linje til linje svare til hinanden, så parene af homologe punkter er på linje med et tredje fast punkt, der er centrum for homothecy.

Ligeledes skal parlinjerne, der forbinder dem, være parallelle. Forholdet mellem sådanne segmenter er en konstant kaldet homothecy-forholdet (k); på en sådan måde, at homothecy kan defineres som:

For at udføre denne type transformation begynder vi med at vælge et vilkårligt punkt, der vil være centrum for homothecien.

Fra dette punkt tegnes linjesegmenter for hvert toppunkt på figuren, der skal transformeres. Skalaen, i hvilken gengivelsen af ​​den nye figur er lavet, er angivet med forholdet mellem homothecy (k).

Ejendomme

En af de vigtigste egenskaber ved homothecy er, at af den homotetiske grund (k) er alle homotetiske figurer ens. Blandt andre fremragende egenskaber er følgende:

- Centeret for homothecia (O) er det eneste dobbeltpunkt, og dette omdannes til sig selv; det vil sige, at den ikke varierer.

- Linjerne, der passerer gennem midten, omdannes til sig selv (de er dobbelt), men de punkter, der udgør det, er ikke dobbelt.

- De linjer, der ikke passerer gennem midten, omdannes til parallelle linjer; på denne måde forbliver homothecyvinklerne de samme.

- Billedet af et segment ved hjælp af en homothecy af center O og forholdet k, er et segment parallelt med dette og har k gange dets længde. Som det for eksempel kan ses i det følgende billede, vil et segment AB ved homothecy resultere i et andet segment A'B ', således at AB vil være parallelt med A'B', og k vil være:

- Homotetiske vinkler er kongruente; de har samme mål. Derfor er billedet af en vinkel en vinkel, der har den samme amplitude.

På den anden side har vi, at homothecien varierer som en funktion af værdien af ​​dens forhold (k), og følgende tilfælde kan forekomme:

- Hvis konstanten k = 1, er alle punkter faste, fordi de transformerer sig selv. Den homotetiske figur falder således sammen med den originale, og transformationen kaldes identitetsfunktionen.

- Hvis k ≠ 1, vil det eneste faste punkt være midten af ​​homotetikken (O).

- Hvis k = -1, bliver homothecien en central symmetri (C); dvs. forekommer en rotation omkring C, i en vinkel på 180 ^eller.

- Hvis k> 1, vil størrelsen på den transformerede figur være større end størrelsen på originalen.

- Hvis 0 <k <1, vil størrelsen på det transformerede figur være mindre end originalen.

- Hvis -1 <k <0, vil størrelsen på den transformerede figur være mindre, og den roteres med hensyn til originalen.

- Hvis k <-1, vil størrelsen på den transformerede figur være større, og den roteres i forhold til originalen.

typer

Homotecien kan også klassificeres i to typer, afhængigt af værdien af ​​dens forhold (k):

Direkte homothecy

Det forekommer, hvis den konstante k> 0; det vil sige, de homotiske punkter er på samme side med hensyn til centrum:

Proportionalitetsfaktoren eller ligheden mellem de direkte homotetiske tal vil altid være positiv.

Omvendt homothecy

Det forekommer, hvis den konstante k <0; det vil sige, at de indledende punkter og deres homotetik er placeret i de modsatte ender i forhold til det homotetiske centrum, men på linje med det. Centret vil være mellem de to figurer:

Proportionalitetsfaktoren eller lighedsforholdet mellem inverse homotetiske tal vil altid være negativt.

Sammensætning

Når flere bevægelser successivt udføres, indtil der opnås en figur, der er lig med originalen, forekommer en sammensætning af bevægelser. Sammensætningen af ​​flere bevægelser er også en bevægelse.

Sammensætningen mellem to homothecies resulterer i en ny homothecy; det vil sige, at der er et produkt af homothetier, hvor midten vil være på linje med midten af ​​de to originale transformationer, og forholdet (k) er produktet af de to forhold.

Således i sammensætningen af to homothecies H ₁ (O ₁, k ₁) og H ₂ (O ₂, k ₂), multiplikation af deres forhold: k ₁ xk ₂ = 1 vil resultere i en homothecy af forholdet k ₃ = k ₁ xk ₂. Centret for denne nye homothecy (O ₃) vil være placeret på linjen O ₁ O ₂.

Homothecia svarer til en flad og irreversibel ændring; Hvis der anvendes to homotetier, der har samme center og forhold, men med et andet tegn, opnås det originale tal.

eksempler

Første eksempel

Anvend en homothecy på den givne polygon med centrum (O), der ligger 5 cm fra punkt A, og hvis forhold er k = 0,7.

Løsning

Ethvert punkt vælges som centrum for homothecien, og fra dette punkt trækkes stråler gennem figurens hjørner:

Afstanden fra centrum (O) til punkt A er OA = 5; Med dette kan afstanden til et af de homotetiske punkter (OA ') bestemmes, også ved at k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Processen kan udføres for hvert toppunkt, eller den homotetiske polygon kan også tegnes, idet man husker, at de to polygoner har parallelle sider:

Endelig ser transformationen sådan ud:

Andet eksempel

Anvend en homothecy på den givne polygon med centrum (O), der ligger 8,5 cm fra punkt C, og hvis y-forhold k = -2.

Løsning

Afstanden fra centrum (O) til punkt C er OC = 8,5; Med disse data er det muligt at bestemme afstanden til et af de homotetiske punkter (OC '), også ved at k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Efter at have tegnet segmenterne af vertikuerne på den transformerede polygon, har vi, at de indledende punkter og deres homotetik er placeret i de modsatte ender med hensyn til centrum:

Referencer

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Teknisk tegning: aktivitetsnotebook.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Affinitet, homologi og homothecy.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineær algebra og projektiv geometri. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Generel matematik, sandsynligheder og statistik.
5. Meserve, BE (2014). Grundlæggende begreber om geometri. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Introduktion til algebra. Reverte.