PYTHAGOREISKE IDENTITETER: DEMONSTRATION, EKSEMPEL, ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Pythagoreiske identiteter er alle trigonometriske ligninger, der gælder for en hvilken som helst vinkelværdi og er baseret på den Pythagoreiske teorem. Den mest berømte af de Pythagoreiske identiteter er den grundlæggende trigonometriske identitet:

Sin ² (a) + Cos ² (a) = 1

Figur 1. Pythagoreiske trigonometriske identiteter.

Næste i vigtighed, og jeg bruger den pythagoreiske identitet af tangenten og sekanten:

Tan ² (α) + 1 = Sek ² (α)

Og den Pythagoreiske trigonometriske identitet, der involverer cotangenten og kosekanten:

1 + Ctg ² (a) = Csc ² (a)

Demonstration

De trigonometriske forhold sinus og cosinus er repræsenteret i en cirkel med radius en (1) kendt som en trigonometrisk cirkel. Nævnte cirkel har sit centrum ved oprindelsen af ​​koordinaterne O.

Vinkler måles fra den positive halvakse af X'erne, for eksempel vinkel α i figur 2 (se nedenfor). Mod uret, hvis vinklen er positiv, og med uret, hvis den er en negativ vinkel.

Strålen med oprindelse O og vinkel α tegnes, som afskærer enhedscirklen ved punkt P. Punkt P projiceres ortogonalt på den horisontale akse X, der giver anledning til punkt C. På lignende måde projiceres P vinkelret på den lodrette akse Y sted til punkt S.

Vi har den rigtige trekant OCP ved C.

Sinus og kosinus

Det skal huskes, at det trigonometriske forhold sinus er defineret i en højre trekant som følger:

Sinussen på en vinkel i trekanten er forholdet eller kvoten mellem benet modsat vinklen og trekanten på afstanden.

Anvendt på trekanten OCP i figur 2 ville det se sådan ud:

Sen (α) = CP / OP

men CP = OS og OP = 1, så at:

Sen (α) = OS

Hvilket betyder, at projektions-OS på Y-aksen har en værdi, der er lig med sinusen for den viste vinkel. Det skal bemærkes, at den maksimale værdi af sinussen i en vinkel (+1) forekommer, når α = 90º og minimum (-1), når α = -90º eller α = 270º.

Figur 2. Trigonometrisk cirkel, der viser forholdet mellem den Pythagoreiske teorem og den grundlæggende trigonometriske identitet. (Egen uddybning)

Tilsvarende er kosinus i en vinkel kvotienten mellem benet, der støder op til vinklen og hypotenusen i trekanten.

Anvendt på trekanten OCP i figur 2 ville det se sådan ud:

Cos (α) = OC / OP

men OP = 1, så at:

Cos (a) = OC

Dette betyder, at projektionen OC på X-aksen har en værdi, der er lig med sinusen for den viste vinkel. Det skal bemærkes, at den maksimale værdi af cosinus (+1) forekommer, når α = 0º eller α = 360º, mens den mindste værdi af cosinus er (-1), når α = 180º.

Den grundlæggende identitet

For den højre trekant OCP i C anvendes Pythagorean sætning, der siger, at summen af ​​kvadratet på benene er lig med kvadratet på hypotenusen:

CP ² + OC ² = OP ²

Men det er allerede sagt, at CP = OS = Sen (α), at OC = Cos (α) og at OP = 1, så det forrige udtryk kan omskrives som en funktion af vinklen sinus og cosinus:

Sin ² (a) + Cos ² (a) = 1

Tangens akse

Ligesom X-aksen i den trigonometriske cirkel er kosinusaksen og Y-aksen sinusaksen, på samme måde er der tangensaksen (se figur 3), der er nøjagtigt tangenslinien til enhedscirklen på punktet B af koordinater (1, 0).

Hvis du vil vide værdien af ​​tangenten i en vinkel, trækkes vinklen fra den positive semi-akse af X, skæringspunktet mellem vinklen og tangenten er defineret et punkt Q, længden af ​​segmentet OQ er tangenten til vinkel.

Dette skyldes pr. Definition, at tangenten af ​​vinklen a er det modsatte ben QB mellem det tilstødende ben OB. Det vil sige Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Figur 3. Den trigonometriske cirkel, der viser aksen for tangenten og den pythagoreiske identitet af tangenten. (Egen uddybning)

Tangens pythagoreiske identitet

Pythagoreisk identitet af tangenten kan bevises ved at overveje den rigtige trekant OBQ ved B (figur 3). Anvendelse af den Pythagoreiske teorem på denne trekant har vi, at BQ ² + OB ² = OQ ². Men det er allerede sagt, at BQ = Tan (α), at OB = 1 og at OQ = Sec (α), så at vi i stedet for i den pythagoreiske ligestilling erstatter den rigtige trekant OBQ:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α).

Eksempel

Kontroller, om de Pythagoreiske identiteter er opfyldt i den højre trekant af benene AB = 4 og BC = 3.

Løsning: Benene er kendte, hypotenusen skal bestemmes, hvilket er:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Vinklen ∡BAC kaldes α, ∡BAC = α. Nu bestemmes de trigonometriske forhold:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Altså α = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc a = AC / BC = 5/3

Det begynder med den grundlæggende trigonometriske identitet:

Sin ² (a) + Cos ² (a) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Det konkluderes, at det er opfyldt.

- Den næste Pythagoreiske identitet er tangenten:

Tan ² (α) + 1 = Sek ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

Og det konkluderes, at identiteten af ​​tangenten verificeres.

- På en lignende måde som cotangenten:

1 + Ctg ² (a) = Csc ² (a)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Det konkluderes, at det også er opfyldt, hvormed opgaven med at verificere de Pythagoreiske identiteter for den givne trekant er afsluttet.

Løst øvelser

Bevis følgende identiteter, baseret på definitionerne af de trigonometriske forhold og de Pythagoreiske identiteter.

Øvelse 1

Bevis at Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Løsning: I højre side genkender vi det bemærkelsesværdige produkt ved multiplikation af et binomial med dets konjugat, som som vi er en forskel på firkanter:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Derefter går udtrykket med sinus på højre side til venstre side med skiltet ændret:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Det bemærkes, at den grundlæggende trigonometriske identitet er nået, så det konkluderes, at det givne udtryk er en identitet, dvs. at det er tilfældet for enhver værdi af x.

Øvelse 2

Start med den grundlæggende trigonometriske identitet og brug af definitionerne af de trigonometriske forhold, demonstrer den pythagoreiske identitet af kosekanten.

Løsning: Den grundlæggende identitet er:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Begge medlemmer er divideret med Sen ² (x), og nævneren fordeles i det første medlem:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Det er forenklet:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) er en (ikke-pythagoreisk) identitet, der verificeres ved selve definitionen af ​​de trigonometriske forhold. Det samme sker med følgende identitet: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Endelig skal du:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Referencer

1. Baldor J. (1973). Plan- og rumgeometri med en introduktion til trigonometri. Mellemamerikansk kultur. AC
2. CEA (2003). Geometrielementer: med øvelser og kompassgeometri. University of Medellin.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Redaktionel Patria.
4. Iger. (Sf). Matematik Første semester Tacaná. Iger.
5. Jr. geometri. (2014). Polygoner. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heerenveen og Hornsby. (2006). Matematik: Begrundelse og applikationer (tiende udgave). Pearson Uddannelse.
7. Patiño, M. (2006). Matematik 5. Redaktionel Progreso.
8. Wikipedia. Trigonometri-identiteter og formler. Gendannet fra: es.wikipedia.com