Den lineære interpolering er en metode, der stammer fra generelle Newton-interpolering og tilnærmelse til at bestemme for en ukendt værdi, der er mellem to givne tal; det vil sige, at der findes en mellemværdi. Det bruges også til omtrentlige funktioner, hvor værdierne f (a) og f (b) er kendte, og vi ønsker at kende mellemproduktet til f (x).
Der er forskellige typer interpolering, såsom lineær, kvadratisk, kubisk og med højere grader, hvor den enkleste er den lineære tilnærmelse. Prisen, der skal betales med lineær interpolering, er, at resultatet ikke vil være så nøjagtigt som ved tilnærmelser ved hjælp af funktioner i højere grader.
Definition
Lineær interpolation er en proces, der giver dig mulighed for at udlede en værdi mellem to veldefinerede værdier, der kan være i en tabel eller i en linjegraf.
For eksempel, hvis du ved, at 3 liter mælk er værd $ 4, og at 5 liter er værd $ 7, men du vil vide, hvad værdien af 4 liter mælk er, interpolerer du for at bestemme den mellemliggende værdi.
Metode
For at estimere en mellemværdi af en funktion er funktionen f (x) tilnærmet ved hjælp af en linje r (x), hvilket betyder, at funktionen varierer lineært med «x» for et afsnit «x = a» og «x = b "; det vil sige for en værdi "x" i intervallet (x 0, x 1) og (y 0, y 1) er værdien af "y" angivet ved linjen mellem punkterne og udtrykkes ved følgende forhold:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
For at en interpolation skal være lineær, skal interpolationspolynomet være af grad 1 (n = 1), så det passer til værdierne x 0 og x 1.
Lineær interpolering er baseret på lighed med trekanter, på en sådan måde, at der, geografisk stammer fra det forrige udtryk, kan opnås værdien af "y", som repræsenterer den ukendte værdi for "x".
På den måde skal du:
a = tan Ɵ = (modsat ben 1 ÷ tilstødende ben 1) = (modsat ben 2 ÷ tilstødende ben 2)
Udtrykt på en anden måde er det:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
Løsning for «og» fra udtrykkene har vi:
(y - y 0) * (x 1 - x 0) = (x - x 0) * (y 1 - y 0)
(y - y 0) = (y 1 - y 0) *
Således opnås den generelle ligning for lineær interpolation:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
Generelt giver lineær interpolering en lille fejl på den reelle værdi af den sande funktion, selvom fejlen er minimal sammenlignet med, hvis du intuitivt vælger et tal tæt på det, du vil finde.
Denne fejl opstår, når man prøver at tilnærme værdien af en kurve med en lige linje; I disse tilfælde skal størrelsen på intervallet reduceres for at gøre tilnærmelsen mere præcis.
For de bedste resultater med hensyn til tilnærmelsen anbefales det at bruge funktioner i grad 2, 3 eller endda højere grader til at udføre interpolationen. I disse tilfælde er Taylor-sætningen et meget nyttigt værktøj.
Løst øvelser
Øvelse 1
Antallet af bakterier pr. Volumenhed, der findes i en inkubation efter x timer, er vist i følgende tabel. Du vil vide, hvad der er mængden af bakterier i en periode på 3,5 timer.
Løsning
Referencetabellen fastlægger ikke en værdi, der angiver mængden af bakterier i en tid på 3,5 timer, men der er øvre og nedre værdier, der svarer til henholdsvis en tid på henholdsvis 3 og 4 timer. Den vej:
x 0 = 3 og 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 og 1 = 135
Nu anvendes den matematiske ligning til at finde den interpolerede værdi, som er følgende:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *.
Derefter erstattes de tilsvarende værdier:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Det opnås således, at antallet af bakterier i et tidsrum på 3,5 timer er 113, hvilket repræsenterer et mellemliggende niveau mellem det rumfang af bakterier, der eksisterede i tiderne på 3 og 4 timer.
Øvelse 2
Luis har en isfabrik, og han vil gøre en undersøgelse for at bestemme den indkomst, han havde i august, baseret på de foretagne udgifter. Virksomhedens administrator laver en graf, der udtrykker dette forhold, men Luis vil gerne vide:
Hvad er indkomsten for august, hvis der blev afholdt en udgift på $ 55.000?
Løsning
Der gives en graf med værdier af indtægter og udgifter. Luis vil vide, hvad indkomsten er for august, hvis fabrikken havde en udgift på $ 55.000. Denne værdi reflekteres ikke direkte i grafen, men værdierne er højere og lavere end dette.
Først laves en tabel, hvor man let kan sammenholde værdierne:
Nu bruges interpolationsformlen til således at bestemme værdien af y
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
Derefter erstattes de tilsvarende værdier:
y = 56.000 + (78.000 - 56.000) *
y = 56.000 + (22.000) *
y = 56.000 + (22.000) * (0.588)
y = 56.000 + 12.936
y = $ 68.936.
Hvis der blev foretaget en udgift på $ 55.000 i august, var indkomsten $ 68.936.
Referencer
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Uddannelse.
- Harpe, P. d. (2000). Emner i geometrisk gruppeteori. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Lineær interpolation ", Encyclopedia of Mathematics.
- , JM (1998). Elementer af numeriske metoder til teknik. UASLP.
- , E. (2002). En kronologi med interpolation: fra gammel astronomi til moderne signal- og billedbehandling. Forløb af IEEE.
- numerisk, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.