- Oprindelse og historie
- Aristoteles
- Hvad studerer matematisk logik?
- udsagn
- Sandhedstabeller
- Typer af matematisk logik
- områder
- Referencer
Den matematiske logik eller den symboliske logik er et matematisk sprog, der dækker de værktøjer, som man kan bekræfte eller benægte en matematisk ræsonnement.
Det er velkendt, at der ikke er uklarheder i matematik. Givet et matematisk argument, er det enten gyldigt eller er det simpelthen ikke. Det kan ikke være falsk og sand på samme tid.
Et særligt aspekt af matematik er, at det har et formelt og strengt sprog, hvorpå argumentets gyldighed kan bestemmes. Hvad er det der gør en bestemt begrundelse eller ethvert matematisk bevis ubestridelig? Det er hvad matematisk logik handler om.
Således er logik disciplinen i matematik, der er ansvarlig for at studere matematisk ræsonnement og bevis, og tilvejebringe værktøjer til at kunne udlede en korrekt konklusion fra tidligere udsagn eller forslag.
For at gøre dette bruges aksiomer og andre matematiske aspekter, der senere vil blive udviklet.
Oprindelse og historie
De nøjagtige datoer med hensyn til mange aspekter af matematisk logik er usikre. Imidlertid spores de fleste af bibliografierne om emnet fra det gamle Grækenland.
Aristoteles
Begyndelsen på den strenge behandling af logik tilskrives delvis Aristoteles, der skrev et sæt logiske værker, som senere blev samlet og udviklet af forskellige filosoffer og videnskabsfolk indtil middelalderen. Dette kan betragtes som "den gamle logik".
Senere, i den såkaldte nutiden, bevægede Leibniz et dybt ønske om at etablere et universelt sprog til at matematisk resonere, og andre matematikere som Gottlob Frege og Giuseppe Peano påvirkede især udviklingen af matematisk logik med store bidrag blandt dem Peano Axioms, der formulerer uundværlige egenskaber ved naturlige tal.
Matematikere George Boole og Georg Cantor var også af stor indflydelse på dette tidspunkt med vigtige bidrag i sætteorier og sandhedstabeller, hvori de blandt andet fremhævede Boolean Algebra (af George Boole) og Axiom of Choice (af George Cantor).
Der er også Augustus De Morgan med de velkendte Morgan-love, der overvejer negationer, sammenhænge, adskillelser og betingelser mellem forslag, nøgler til udviklingen af symbolisk logik og Jhon Venn med de berømte Venn-diagrammer.
I det 20. århundrede, cirka mellem 1910 og 1913, skiller Bertrand Russell og Alfred North Whitehead sig ud med deres udgivelse af Principia mathematica, et sæt bøger, der samler, udvikler og postulerer en række aksiomer og resultater af logik.
Hvad studerer matematisk logik?
udsagn
Matematisk logik begynder med studiet af forslag. Et forslag er en erklæring, der kan siges uden tvetydighed, hvis det er sandt eller ej. Følgende er eksempler på forslag:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- I 1930 var der et jordskælv i Europa.
Den første er en sand erklæring, og den anden er en falsk erklæring. Den tredje, selvom den person, der læser den, måske ikke ved, om den er sand eller med det samme, er en erklæring, der kan testes og bestemmes, om det virkelig skete.
Følgende er eksempler på udtryk, der ikke er forslag:
- Hun er blond.
- 2x = 6.
- Lad os lege!
- Kan du lide film
I det første forslag er det ikke specificeret, hvem "hun" er, hvorfor intet kan bekræftes. I det andet forslag, hvad "x" repræsenterer, er ikke blevet specificeret. Hvis det i stedet blev sagt, at 2x = 6 for et naturligt antal x, ville det i dette tilfælde svare til et forslag, faktisk, da det for x = 3 er opfyldt.
De sidste to udsagn svarer ikke til et forslag, da der ikke er nogen måde at benægte eller bekræfte dem.
To eller flere forslag kan kombineres (eller tilsluttes) ved hjælp af velkendte logiske forbindelser (eller stik). Disse er:
- Afslag: "Det regner ikke."
- Sammenhæng: "Luisa købte en hvid eller grå taske."
- Konjunktion: "4 2 = 16 og 2 × 5 = 10".
- Betinget: "Hvis det regner, går jeg ikke på gymnastiksalen i eftermiddag."
- Biconditional: "Jeg går i gymnastiksalen i eftermiddag, hvis, og kun hvis det ikke regner."
Et forslag, der ikke har nogen af de tidligere forbindelser kaldes et enkelt (eller atomisk) forslag. For eksempel er "2 er mindre end 4" et enkelt forslag. Forslag, der har nogle bindemidler, kaldes sammensatte forslag, såsom "1 + 3 = 4 og 4 er et jævnt tal."
Udsagn fremsat ved hjælp af forslag er normalt lange, så det er kedeligt at altid skrive dem som set indtil videre. Af denne grund bruges et symbolsk sprog. Forslag er normalt repræsenteret med store bogstaver som P, Q, R, S osv. Og de symbolske forbindelser som følger:
Så det
Den omvendte af en betinget proposition
er forslaget
Og den gensidige (eller kontrapositive) proposition
er forslaget
Sandhedstabeller
Et andet vigtigt begreb i logikken er sandhedstabeller. Sandhedens værdier for et forslag er de to muligheder for et forslag: sandt (som vil blive betegnet med V, og det vil blive sagt, at dets sandhedsværdi er V) eller falsk (som vil blive betegnet med F, og det vil blive sagt, at dets værdi er virkelig F).
Sandheden i et sammensat forslag afhænger udelukkende af sandhedsværdierne for de enkle forslag, der vises i det.
For at arbejde mere generelt vil vi ikke overveje specifikke forslag, men propositionsvariabler p, q, r, s osv., Som repræsenterer eventuelle forslag.
Med disse variabler og de logiske forbindelser dannes de velkendte forslagsformler, ligesom sammensatte forslag er bygget.
Hvis hver af de variabler, der vises i en proposition, udskiftes med en proposition, opnås en sammensat proposition.
Nedenfor er sandhedstabellerne for logiske forbindelser:
Der er propositionelle formler, der kun modtager værdien V i deres sandhedstabel, det vil sige, at den sidste søjle i deres sandhedstabel kun har værdien V. Disse typer formler er kendt som tautologier. For eksempel:
Det følgende er sandhedstabellen med formlen
Det siges, at en formel a logisk betyder en anden formel ß, hvis a er sandt hver gang β er sandt. Det vil sige i sandhedstabellen for α og β, rækkerne, hvor α har en V, β har også en V. Vi er kun interesseret i de rækker, hvor α har værdien V. Notationen for logisk implikation er som følger:
Følgende tabel opsummerer egenskaberne ved logisk implikation:
To propositionsformler siges at være logisk ækvivalente, hvis deres sandhedstabeller er identiske. Følgende notation bruges til at udtrykke den logiske ækvivalens:
Følgende tabeller opsummerer egenskaberne ved logisk ækvivalens:
Typer af matematisk logik
Der er forskellige typer logik, især hvis man tager højde for den pragmatiske eller uformelle logik, der blandt andet peger på filosofi.
For så vidt angår matematik, kunne typerne af logik sammenfattes som:
- Formel eller aristotelisk logik (gammel logik).
- Forslagslogik: den er ansvarlig for studiet af alt, hvad der vedrører gyldigheden af argumenter og forslag ved anvendelse af formelt og symbolsk sprog.
- Symbolisk logik: fokuseret på studiet af sæt og deres egenskaber, også med et formelt og symbolsk sprog, og er dybt knyttet til propositionslogik.
- Kombinatorisk logik: en af de senest udviklede, involverer resultater, der kan udvikles ved hjælp af algoritmer.
- Logisk programmering: bruges i de forskellige pakker og programmeringssprog.
områder
Blandt de områder, der gør brug af matematisk logik på en uundværlig måde i udviklingen af deres resonnementer og argumenter, fremhæver filosofi, sætteori, taleteori, algebraisk konstruktiv matematik og programmeringssprog.
Referencer
- Aylwin, CU (2011). Logik, sæt og numre. Mérida - Venezuela: Publications Council, Universidad de Los Andes.
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introduktion til nummerteori. EUNED.
- Castañeda, S. (2016). Grundlæggende kursus i taleteori. Northern University.
- Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Sådan udvikles matematisk logisk begrundelse. University Publishing House.
- Zaragoza, AC (sf). Talteori Redaktionelle visioner