FERMATGRÆNSE: HVAD DET BESTÅR AF OG ØVELSER LØST - MATEMATIK - 2025

Den Fermat grænse er en numerisk metode anvendes til at opnå værdien af hældningen af en linie, der er tangent til en funktion på et bestemt punkt i sit domæne. Det bruges også til at få kritiske punkter for en funktion. Dets udtryk er defineret som:

Det er tydeligt, at Fermat ikke kendte de grundlæggende elementer i afledningen, men det var hans studier, der fik en gruppe matematikere til at spørge om tangentlinjer og deres anvendelser i beregningen.

Hvad er Fermat-grænsen?

Det består af en tilgang på 2 punkter, der under tidligere forhold danner en secant linje til funktionen med krydsning i par af værdier.

Ved at nærme sig variablen til værdien "a", tvunges parret til at mødes. På denne måde bliver den tidligere sikrede linje tangent til punktet (a; f (a)).

Værdien af ​​kvotienten (x - a) giver, når den vurderes i punktet "a", en ubestemmelse for grænser for typen K mellem nul (K / 0). Hvor gennem forskellige factoring teknikker disse ubestemmelser kan brydes.

De mest almindeligt anvendte driftsteknikker er:

Forskel af kvadrater (a ² - b ²) = (a + b) (a - b); Eksistensen af ​​elementet (a - b) indebærer i de fleste tilfælde de faktorer, der forenkler udtrykket (x - a) i kvoten af ​​Fermat-grænsen.

- Færdiggørelse af firkanter (øks ² + bx); Efter færdiggørelse af firkanter opnås en Newton binomial, hvor en af ​​dens 2 faktorer forenkles med udtrykket (x - a), hvilket bryder ubestemmelsen.

- konjugat (a + b) / (a ​​+ b); At multiplicere og dele udtrykket med konjugatet af en eller anden faktor kan være til stor hjælp for at bryde ubestemmelsen.

- Fælles faktor; I mange tilfælde skjuler resultatet af betjening af tælleren for Fermat-grænsen f (x) - f (a) den faktor (x - a), der er nødvendig for at faktorere. Til dette observeres det omhyggeligt, hvilke elementer der gentages i hver faktor i udtrykket.

Anvendelse af Fermat-grænsen for maksimum og minimum

Selvom Fermat-grænsen ikke skelner mellem maksimum og minimum, da den kun kan identificere de kritiske punkter i henhold til dens definition, bruges den ofte til beregning af hætter eller gulve af funktioner i planet.

En grundlæggende viden om den grafiske teori om funktioner i forbindelse med denne teorem kan være tilstrækkelig til at etablere maksimale og minimale værdier mellem funktioner. Faktisk kan bøjningspunktene defineres ved hjælp af middelværdissætningen ud over Fermats sætning.

Den kubiske lignelse

Det mest betydningsfulde paradoks for Fermat kom fra at studere den kubiske parabola. Fordi hans opmærksomhed blev rettet mod tangentlinierne for en funktion for et givet punkt, løb han ind i problemet med at definere tangentlinien på bøjningspunktet i funktionen.

Det syntes umuligt at bestemme tangentlinjen til et punkt. Således begynder undersøgelsen, der ville give anledning til differentieringsberegningen. Defineres senere af vigtige eksponenter for matematik.

Maximus og minimal

Undersøgelsen af ​​maksimums og minimum for en funktion var en udfordring for klassisk matematik, hvor der var behov for en entydig og praktisk metode til at definere dem.

Fermat skabte en metode, der er baseret på driften af ​​små differentielle værdier, der efter factoringprocesser fjernes, hvilket giver plads til den maksimale og minimale værdi, der søges.

Denne variabel skal evalueres i det originale udtryk for at bestemme koordinatet for det nævnte punkt, som sammen med analytiske kriterier vil blive defineret som det maksimale eller minimum af udtrykket.

Metode

I sin metode bruger Fermat den bogstavelige symbolik af Vieta, der bestod af den eksklusive brug af store bogstaver: vokaler, for ukendte og konsonanter for kendte mængder.

For radikale værdier implementerede Fermat en bestemt proces, der senere ville blive brugt i faktoriseringerne af grænserne for ubestemmelsesmulighed uendelig mellem uendelig.

Denne proces består i at dele hvert udtryk med værdien af ​​den anvendte forskel. I tilfælde af Fermat brugte han bogstavet E, hvor den eftersøgte værdi af det kritiske punkt, efter at have delt med den højeste magt af E, kan spaltes.

Historie

Fermat-grænsen er faktisk et af de mindst kendte bidrag på matematikernes lange liste. Hans studier gik fra primtal til grundlæggende at skabe grundlaget for beregning.

På sin side var Fermat kendt for sine excentriciteter i forhold til sine hypoteser. Det var almindeligt for ham at overlade en slags udfordring til datidens andre matematikere, da han allerede havde løsningen eller beviset.

Han havde en lang række tvister og alliancer med forskellige tiders matematikere, som enten elskede eller hadede at arbejde med ham.

Hans sidste sætning var hovedansvarlig for hans verdensomspændende berømmelse, hvor han erklærede, at en generalisering af Pythagoras teorem for enhver grad "n" var umulig. Han hævdede at have et gyldigt bevis på det, men døde, før han offentliggjorde det.

Denne demonstration måtte vente cirka 350 år. I 1995 sluttede matematikerne Andrew Wiles og Richard Taylor en stopper for den angst, som Fermat havde efterladt, hvilket beviser, at han havde ret gennem et gyldigt bevis på hans sidste sætning.

Øvelser

Øvelse 1

Definer hældningen for tangentlinjen til kurven f (x) = x ² på punktet (4, 16)

I stedet for udtrykket Fermat-grænsen har vi:

Faktorerne (x - 4) er forenklet

Ved evaluering har du

M = 4 + 4 = 8

Øvelse 2

Definer det kritiske punkt for udtrykket f (x) = x ² + 4x ved hjælp af Fermat-grænsen

Der udføres en strategisk gruppering af elementer, der søger at gruppere parene XX ₀

De mindst kvadrater er udviklet

Overhold den fælles faktor XX _{0, og ekstraher}

Udtrykket kan nu forenkles og ubestemmelsen brydes

Ved minimumspunkter vides det, at hældningen på tangentlinien er lig med nul. På denne måde kan vi udligne det fundne udtryk til nul og løse for værdien X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

For at få den manglende koordinat er det kun nødvendigt at evaluere punktet i den originale funktion

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

Det kritiske punkt er P (-2, -4).

Referencer

1. Reel analyse. En historisk tilgang Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5. august. 1999.
2. Den matematiske karriere fra Pierre de Fermat, 1601-1665: Anden udgave. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5. juni. 2018
3. Fra Fermat til Minkowski: Foredrag om talteorien og dens historiske udvikling. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Fermats sidste sætning: En genetisk introduktion til algebraisk nummerteori. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14. jan 2000
5. Fermat dage 85: Matematik til optimering. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1. jan. 1986