MORGAN LAWS - MATEMATIK - 2025

Morgan 's l øjne er inferensregler, der bruges i propositionslogik, som bestemmer, hvad resultatet af at nægte en disjunktion og en sammenhæng af forslag eller propositionsvariabler. Disse love blev defineret af matematikeren Augustus De Morgan.

Morgan's love repræsenterer et meget nyttigt værktøj til at demonstrere gyldigheden af ​​matematiske resonnementer. Senere blev de generaliseret inden for begrebet sæt af matematikeren George Boole.

Denne generalisering foretaget af Boole svarer fuldstændigt til den oprindelige Morgan's love, men den er udviklet specifikt til sæt snarere end for forslag. Denne generalisering er også kendt som Morgan's love.

Gennemgang af propositionslogik

Før du ser på, hvad specifikt Morgan's love er, og hvordan de bruges, er det nyttigt at huske nogle grundlæggende forestillinger om propositionslogik. (Se artikel om propositionslogik for flere detaljer).

Inden for matematisk (eller propositionel) logik er en slet en konklusion, der er udstedt fra et sæt lokaler eller hypoteser. Denne konklusion sammen med de førnævnte premisser giver anledning til, hvad der er kendt som matematisk ræsonnement.

En sådan begrundelse skal kunne påvises eller nægtes; det vil sige, at ikke alle konklusioner eller konklusioner i matematiske resonnementer er gyldige.

fejlslutning

En falsk konklusion fra visse hypoteser, der antages at være sand, er kendt som en fejlagtighed. Fejlagtighederne er særegenheden ved at være argumenter, der synes korrekte, men matematiske er de ikke.

Propositionslogik er nøjagtigt ansvarlig for at udvikle og tilvejebringe metoder, ved hjælp af hvilke, uden nogen tvetydighed, en matematisk begrundelse kan valideres eller tilbagevises; det vil sige udlede en gyldig konklusion fra lokaler. Disse metoder er kendt som inferensregler, som Morgan's love er en del af.

udsagn

De væsentligste elementer i propositionslogik er propositioner. Forslag er udsagn, der kan siges at være gyldige eller ikke, men ikke kan være sandt eller forkert på samme tid. Der bør ikke være nogen tvetydighed i denne sag.

Ligesom tal kan kombineres gennem operationerne for tilføjelse, subtraktion, multiplikation og opdeling, kan propositioner betjenes ved hjælp af de velkendte logiske forbindelser (eller stik): negation (¬, "ikke"), disjunktion (V, "Eller"), konjunktion (Ʌ, "og"), betinget (→, "hvis…, derefter…") og tobetinget (↔, "hvis, og kun hvis").

For at arbejde mere generelt, i stedet for at overveje specifikke forslag, overvejes propositionsvariabler, der repræsenterer ethvert forslag, og de betegnes normalt med små bogstaver p, q, r, s osv.

En propositionsformel er en kombination af propositionsvariabler ved hjælp af nogle af de logiske forbindelser. Med andre ord er det en sammensætning af propositionsvariabler. De er normalt betegnet med græske bogstaver.

Det siges, at en propositionsformel logisk indebærer en anden, når sidstnævnte er sand, hver gang den førstnævnte er sand. Dette betegnes ved:

Når den logiske implikation mellem to propositionsformler er gensidig - det vil sige, når den forrige implikation også er gyldig i den modsatte forstand, siges formlerne at være logisk ækvivalente, og den betegnes med

Logisk ækvivalens er en slags ligestilling mellem propositionelle formler og gør det muligt for den ene at blive erstattet af den anden, når det er nødvendigt.

Morgan's love

Morgan's love består af to logiske ækvivalenser mellem to propositionsformer, nemlig:

Disse love tillader at adskille negationen af ​​en disjunktion eller sammenhæng som negationer af de involverede variabler.

Den første kan læses som følger: negation af en adskillelse er lig med sammenhængen mellem negationerne. Og det andet lyder sådan: negationen af ​​en konjunktion er disjunktionen af ​​negationer.

Med andre ord er det at nægte disjunktionen mellem to propositionsvariabler svarende til sammenhængen mellem negationerne af begge variabler. På samme måde er det at nægte kombinationen af ​​to propositionsvariabler svarende til disjunktionen af ​​negationerne af begge variabler.

Som nævnt tidligere hjælper substitution af denne logiske ækvivalens med at bevise vigtige resultater sammen med de andre eksisterende inferensregler. Med disse kan du forenkle mange propositionsformler, så de er mere nyttige at arbejde med.

Det følgende er et eksempel på et matematisk bevis, der bruger inferensregler, herunder Morgan's love. Specifikt vises det, at formlen:

Det svarer til:

Sidstnævnte er enklere at forstå og udvikle.

Demonstration

Det er værd at nævne, at gyldigheden af ​​Morgan's love kan demonstreres matematisk. En måde er at sammenligne dine sandhedstabeller.

Indstiller

De samme inferensregler og forestillingerne om logik, der anvendes på forslag, kan også udvikles under hensyntagen til sæt. Dette er, hvad der er kendt som boolsk algebra efter matematikeren George Boole.

For at differentiere sagerne er det nødvendigt at ændre notationen og overføre til sæt, alle de allerede set forestillinger om propositionslogik.

Et sæt er en samling objekter. Sæt betegnes med store bogstaver A, B, C, X,… og elementerne i et sæt betegnes med små bogstaver a, b, c, x osv. Når et element a hører til et sæt X, betegnes det med:

Når det ikke hører til X, er notationen:

Måden at repræsentere sæt er ved at placere deres elementer inden i seler. For eksempel er sættet med naturlige tal repræsenteret af:

Sæt kan også repræsenteres uden at skrive en eksplicit liste over deres elementer. De kan udtrykkes i form {:}. Tykktarmen læses "sådan at". Til venstre for de to punkter er der placeret en variabel, der repræsenterer elementets element, og til højre er placeret egenskaben eller betingelsen, som de opfylder. Dette er:

For eksempel kan sættet med hele tal over -4 udtrykkes som:

Eller ækvivalent og mere forkortet som:

Tilsvarende repræsenterer de følgende udtryk sæt af henholdsvis ulige og lige tal:

Union, kryds og komplement til sæt

Derefter ser vi analogerne til logiske forbindelser i tilfælde af sæt, der er en del af de grundlæggende operationer mellem sæt.

Union og kryds

Samlingen og krydset mellem sæt defineres henholdsvis som følger:

Overvej for eksempel sætene:

Så du skal:

komplement

Komplementet af et sæt dannes af de elementer, der ikke hører til nævnte sæt (af den samme type, som originalen repræsenterer). Komplementet af et sæt A betegnes med:

For eksempel inden for naturlige tal er komplementet til sættet med lige tal det ulige antal, og vice versa.

For at bestemme komplementet til et sæt skal det universelle eller primære sæt af de elementer, der overvejes, være klart fra starten. For eksempel er det ikke det samme at betragte komplementet til et sæt i forhold til naturlige tal som over rationelle tal.

Følgende tabel viser forholdet eller analogien, der findes mellem operationerne på sæt, der tidligere er defineret, og forbindelseslinjerne for propositionslogik:

Morgan's Laws for Sets

Endelig er Morgan's love om sæt:

Med ord: komplementet til en union er krydset mellem komplementerne, og komplementet til et kryds er sammensætningen af ​​komplementerne.

Et matematisk bevis på den første lighed ville være følgende:

Beviset for det andet er analogt.

Referencer

1. Almaguer, G. (2002). Matematik 1. Redaktionel Limusa.
2. Aylwin, CU (2011). Logik, sæt og numre. Mérida - Venezuela: Publications Council, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introduktion til nummerteori. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Grundlæggende kursus i taleteori. Northern University.
5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Sådan udvikles matematisk logisk begrundelse. University Publishing House.
6. Guevara, MH (nd). Tallteori. EUNED.
7. Zaragoza, AC (sf). Talteori Redaktionelle visioner