INVERS MATRIX: BEREGNING OG LØST TRÆNING - MATEMATIK - 2025

Den omvendte matrix af en given matrix er den matrix, der ganges med originalen giver identitetsmatrixen. Den inverse matrix er nyttig til løsning af systemer med lineære ligninger, deraf vigtigheden af ​​at vide, hvordan man beregner den.

Matrix er meget nyttige i fysik, ingeniørvidenskab og matematik, da de er et kompakt værktøj til at løse komplekse problemer. Brug af matrixer forbedres, når de er invertible, og deres inverse er også kendt.

Figur 1. En generisk 2 × 2-matrix og dens inverse matrix er vist. (Udarbejdet af Ricardo Pérez)

Inden for grafisk behandling, Big Data, Data Mining, Machine Learning og andre, anvendes effektive og hurtige algoritmer til at evaluere den inverse matrix af nxn matrixer med meget store n i størrelsesordenen tusinder eller millioner.

For at illustrere brugen af ​​den inverse matrix til håndtering af et system med lineære ligninger vil vi starte med det enkleste tilfælde af alle: 1 × 1 matrixer.

Det enkleste tilfælde: en lineær ligning af en enkelt variabel betragtes: 2 x = 10.

Ideen er at finde værdien af ​​x, men det bliver "matrix".

Matrix M = (2), der multiplicerer vektoren (x) er en 1 × 1 matrix, der resulterer i vektoren (10):

M (x) = (10)

Det inverse af matrixen M er betegnet med M ^-1.

Den generelle måde at skrive dette "lineære system" er:

MX = B, hvor X er vektoren (x) og B er vektoren (10).

Per definition er den inverse matrix den, der ganges med den originale matrix resulterer i identitetsmatrix I:

M ^-1 M = I

I det betragtede tilfælde er matrixen M ^-1 matrixen (½), det vil sige M ^-1 = (½) siden M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

For at finde den ukendte vektor X = (x) multipliceres begge medlemmer i den foreslåede ligning med den inverse matrix:

M- ¹ M (x) = M- ¹ (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Der er opnået en lighed mellem to vektorer, som kun er ens, når deres tilsvarende elementer er ens, det vil sige x = 5.

Beregning af det inverse af en matrix

Det, der motiverer beregningen af ​​den inverse matrix, er at finde en universel metode til løsning af lineære systemer, såsom følgende 2 × 2-system:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Ved at følge trinene i 1 × 1-sagen, studeret i det foregående afsnit, skriver vi ligningssystemet i matrixform:

Figur 2. Lineært system i matrixform.

Bemærk, at dette system er skrevet i kompakt vektornotation som følger:

MX = B

hvor

Det næste trin er at finde det inverse af M.

Metode 1: Brug af Gaussisk eliminering

Den Gaussiske eliminationsmetode vil blive anvendt. Som består af at udføre elementære operationer på rækkerne i matrixen, disse operationer er:

- Multiplicer en række med et ikke-nul tal.

- Tilføj eller træk en anden række fra en række eller multiplen fra en anden række.

- Skift rækkerne.

Målet er gennem disse operationer at konvertere den originale matrix til identitetsmatrixen.

Da dette gøres, anvendes i matrix M nøjagtigt de samme operationer på identitetsmatrixen. Når M, efter flere operationer på rækkerne, transformeres til enhedsmatrixen, bliver den, der oprindeligt var enheden, den inverse matrix af M, det vil sige M ^-1.

1- Vi begynder processen med at skrive matrixen M og ved siden af ​​den enhedsmatrixen:

2- Vi tilføjer de to rækker, og vi sætter resultatet i den anden række, på denne måde får vi et nul i det første element i den anden række:

3- Vi multiplicerer den anden række med -1 for at få 0 og 1 i den anden række:

4- Den første række ganges med ½:

5- Det andet og det første tilføjes, og resultatet placeres i den første række:

6- Nu for at afslutte processen ganges den første række med 2 for at få identitetsmatrixen i den første række og den inverse matrix af den originale matrix M i den anden:

Det vil sige:

Systemløsning

Når først den inverse matrix er opnået, løses ligningssystemet ved at anvende den inverse matrix på begge medlemmer af den kompakte vektorligning:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Hvilket eksplicit ser sådan ud:

Derefter udføres matrixmultiplikation for at opnå vektor X:

Metode 2: ved hjælp af vedhæftet matrix

I denne anden fremgangsmåde den inverse matrix beregnes ud fra adjoint matrix af den oprindelige matrix A.

Antag, at en matrix A er givet af:

hvor _{i, j} er elementet i række i og søjle j af matrixen A.

Den tilstødende del af matrix A kaldes Adj (A), og dens elementer er:

annonce _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

hvor Ai, j er den komplementære nedre matrix opnået ved at eliminere række i og søjle j af den oprindelige matrix A. Søjlerne ¦ ¦ angiver, at determinanten beregnes, det vil sige ¦Ai, j¦ er determinanten for den mindre komplementære matrix.

Invers matrixformel

Formlen til at finde den inverse matrix startende fra den tilstødende matrix af den originale matrix er som følger:

Er den inverse matrix af A, A ^-1, er den transponerede af adjungerede til A divideret med determinanten af A.

Transponeringen A ^T af en matrix A opnås ved at udveksle rækker for kolonner, det vil sige den første række bliver den første kolonne, og den anden række bliver den anden kolonne og så videre, indtil de n rækker af den originale matrix er afsluttet.

Træning løst

Lad matrix A være følgende:

Hvert element i den tilstødende matrix af A beregnes: Adj (A)

Resultatet er, at den tilstødende matrix af A, Adj (A) er følgende:

Derefter beregnes determinanten af ​​matrix A, det (A):

Endelig opnås den inverse matrix af A:

Referencer

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Godkendt publikation.
2. Awol Assen (2013) En undersøgelse af beregningen af ​​determinanterne for en 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Introduktion til lineær algebra. ESIC Redaktion.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) 30-sekunders matematik: De 50 mest mind-ekspanderende teorier i matematik. Ivy Press Limited.
7. Matrix. Lap Lambert Academic Publishing.