Der er en ortogonal matrix, når matrixen ganget med dens transponering resulterer i identitetsmatrixen. Hvis den inverse af en matrix er lig med transponering, er den originale matrix ortogonal.
Ortogonale matrixer har den egenskab, at antallet af rækker er lig med antallet af kolonner. Yderligere er rækkevektorerne enheds ortogonale vektorer, og de transponerende rækkevektorer er også.
Figur 1. Eksempel på ortogonal matrix og hvordan den transformerer geometriske objekter. (Udarbejdet af Ricardo Pérez)
Når en ortogonal matrix multipliceres med vektorerne i et vektorrum, producerer den en isometrisk transformation, det vil sige en transformation, der ikke ændrer afstanden og bevarer vinklerne.
En typisk repræsentant for ortogonale matrixer er rotationsmatrixer. Transformationerne af ortogonale matrixer på et vektorrum kaldes ortogonale transformationer.
De geometriske omdrejninger af rotation og reflektion af punkter, der er repræsenteret ved deres kartesiske vektorer, udføres ved at anvende ortogonale matrixer på de originale vektorer for at opnå koordinaterne for de transformerede vektorer. Det er af denne grund, at ortogonale matrixer er vidt brugt i computergrafikbehandling.
Ejendomme
En matrix M er ortogonale hvis multipliceret med transponering M T giver som resultat identitet matrix jeg. På lignende måde resulterer produktet i transponering af en ortogonal matrix med den originale matrix i identitetsmatrixen:
MM T = M T M = I
Som en konsekvens af den forrige erklæring har vi, at transponering af en ortogonal matrix er lig med dens inverse matrix:
M T = M -1 .
Sættet med ortogonale matrixer med dimension nxn danner den ortogonale gruppe O (n). Og delmængden af O (n) af ortogonale matrixer med determinant +1 danner gruppen af unitære specialmatriser SU (n). Matrixerne i gruppen SU (n) er matrixer, der producerer lineære rotationstransformationer, også kendt som gruppen af rotationer.
Demonstration
Vi ønsker at vise, at en matrix er ortogonal, og kun hvis rækkevektorerne (eller søjlevektorer) er vinkelret på hinanden og af norm 1.
Antag, at rækkerne af en ortogonal matrix nxn er n orthonormale vektorer med dimension n. Hvis det betegnes med v 1 , v 2 ,…., Gælder V n til n-vektorerne:
Hvor det er åbenlyst, at sætet med rækkevektorer faktisk er et sæt ortogonale vektorer med norm én.
eksempler
Eksempel 1
Vis at den 2 x 2 matrix, der i sin første række har vektoren v1 = (-1 0), og i sin anden række er vektoren v2 = (0 1) en ortogonal matrix.
Opløsning: Matrix M konstrueres, og dens transponering M T beregnes:
I dette eksempel er matricen M selvtransponeret, dvs. matrixen og dens transponering er identiske. Multiplicer M med dets transponering M T:
Det bekræftes, at MM T er lig identitetsmatrixen:
Når matrixen M ganges med koordinaterne for en vektor eller et punkt, opnås nye koordinater, der svarer til den transformation, som matrixen foretager på vektoren eller punktet.
Figur 1 viser, hvordan M transformerer vektoren u til u ', og også hvordan M transformerer den blå polygon til den røde polygon. Da M er ortogonal, er det så en ortogonal transformation, der bevarer afstandene og vinklerne.
Eksempel 2
Antag, at du har en 2 x 2-matrix, der er defineret i realerne, givet ved følgende udtryk:
Find de reelle værdier for a, b, c og d, således at matrixen M er en ortogonal matrix.
Løsning: Per definition er en matrix ortogonal, hvis multipliceret med dens transponering opnås identitetsmatrixen. Husk på, at den transponerede matrix opnås fra de originale, udvekslende rækker for kolonner, opnås følgende lighed:
Udførelse af matrixmultiplikation har vi:
Ved at sammenligne elementerne i den venstre matrix med elementerne i identitetsmatrixen til højre får vi et system med fire ligninger med fire ukendte a, b, c og d.
Vi foreslår for a, b, c og d følgende udtryk med hensyn til trigonometriske forhold sinus og cosinus:
Med dette forslag og på grund af den grundlæggende trigonometriske identitet tilfredsstilles den første og den tredje ligning automatisk i ligheden mellem matrixelementerne. Den tredje og fjerde ligning er den samme, og i matrixlighed efter at have erstattet de foreslåede værdier ser det sådan ud:
hvilket fører til følgende løsning:
Endelig opnås følgende opløsninger til den ortogonale matrix M:
Bemærk, at den første af opløsningerne har determinant +1, så den hører til gruppen SU (2), mens den anden løsning har determinant -1 og derfor ikke hører til denne gruppe.
Eksempel 3
Givet følgende matrix, find værdierne af a og b, så vi har en ortogonal matrix.
Løsning: For at en given matrix skal være ortogonal, skal produktet med dets transponering være identitetsmatrixen. Derefter udføres matrixproduktet af den givne matrix med dets transponerede matrix, hvilket giver følgende resultat:
Dernæst sidestilles resultatet med identitetsmatrixen 3 x 3:
I den anden række har den tredje kolonne (ab = 0), men a kan ikke være nul, fordi ellers ligheden af elementerne i den anden række og anden kolonne ikke ville blive opfyldt. Derefter nødvendigvis b = 0. Ved at erstatte b for den værdi 0, vi har:
Derefter løses ligningen: 2a ^ 2 = 1, hvis opløsninger er: + ½√2 og -½√2.
Ved at tage den positive opløsning for a opnås følgende ortogonale matrix:
Læseren kan let verificere, at rækkevektorerne (og også søjlevektorerne) er ortogonale og enheder, det vil sige ortonormale.
Eksempel 4
Vis at matrix A, hvis rækkevektorer er v1 = (0, -1 0), v2 = (1, 0, 0) og v3 = (0 0 -1) er en ortogonal matrix. Derudover finder vektorerne transformeret fra det kanoniske grundlag i, j, k til vektorer u1, u2 og u3.
Løsning: Det skal huskes, at elementet (i, j) i en matrix ganget med dets transponering er prikproduktet af vektoren i række (i) med det i kolonnen (j) i transposen. Yderligere er dette produkt lig med Kronecker-deltaet i tilfælde af, at matrixen er ortogonal:
I vores tilfælde ser det sådan ud:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Med hvilket det vises, at det er en ortogonal matrix.
Desuden u1 = Ai = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) og til sidst u3 = A k = (0, 0, -1)
Referencer
- Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Godkendt publikation.
- Birkhoff og MacLane. (1980). Modern Algebra, red. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Introduktion til lineær algebra. ESIC Redaktion.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30-sekunders matematik: De 50 mest mind-ekspanderende teorier i matematik. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Ortogonal matrix. Gendannet fra: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Ortogonal matrix. Gendannet fra: en.wikipedia.com