EULER NUMMER ELLER E NUMMER: HVOR MEGET ER DET VÆRD, EGENSKABER, APPLIKATIONER - MATEMATIK - 2025

Den Euler nummer eller nummer e er et velkendt matematisk konstant, der vises ofte i talrige videnskabelige og økonomiske anvendelser, sammen med det antal π og andre vigtige tal i matematik.

En videnskabelig lommeregner returnerer følgende værdi for tallet e:

Figur 1. Eulers nummer vises ofte i Science. Kilde: F. Zapata.

e = 2,718281828…

Men mange flere decimaler er kendt, for eksempel:

e = 2,71828182845904523536…

Og moderne computere har fundet billioner med decimaler for tallet e.

Det er et irrationelt antal, hvilket betyder, at det har et uendeligt antal decimaler uden noget gentagende mønster (sekvensen 1828 vises to gange i begyndelsen og gentages ikke længere).

Og det betyder også, at tallet e ikke kan opnås som kvoten på to hele tal.

Historie

Nummeret e blev identificeret af videnskabsmanden Jacques Bernoulli i 1683, da han studerede problemet med sammensat interesse, men tidligere var det indirekte vist i værkerne af den skotske matematiker John Napier, der opfandt logaritmer omkring 1618.

Imidlertid var det Leonhard Euler i 1727, der gav det navnet nummeret e og studerede intensivt dets egenskaber. Derfor er det også kendt som Euler-nummeret og også som en naturlig base for de naturligt anvendte logaritmer (en eksponent).

Hvor meget er tallet e værd?

Tallet e er værd:

e = 2,71828182845904523536…

Ellipsis betyder, at der er et uendeligt antal decimaler, og faktisk med dagens computere er millioner af dem kendt.

Repræsentationer for nummeret e

Der er flere måder at definere e, som vi beskriver nedenfor:

Tallet e som en grænse

En af de forskellige måder, hvorpå tallet e udtrykkes, er den, som videnskabsmanden Bernoulli fandt i sine værker på sammensat interesse:

Hvor du skal gøre værdien n til et meget stort antal.

Det er let at kontrollere ved hjælp af en lommeregner, at når n er meget stor, har det forrige udtryk en tendens til værdien af ​​e angivet ovenfor.

Selvfølgelig kan vi spørge os selv, hvor stort n der kan laves, så lad os prøve runde tal, som disse for eksempel:

n = 1000; 10.000 eller 100.000

I det første tilfælde får vi e = 2.7169239…. I det andet e = 2.7181459… og i det tredje er det meget tættere på værdien af ​​e: 2.7182682. Vi kan allerede forestille os, at tilnærmelsen med n = 1.000.000 eller større vil være endnu bedre.

I matematisk sprog kaldes proceduren for at få n nærmere og tættere på en meget stor værdi grænsen til uendelig og betegnes sådan:

For at betegne uendelighed bruges symbolet "∞".

Tallet e som en sum

Det er også muligt at definere nummeret e gennem denne operation:

De tal, der vises i nævneren: 1, 2, 6, 24, 120… svarer til operationen n!, Hvor:

Og pr. Definition 0! = 1.

Det er let at kontrollere, at jo flere tilføjelser der er tilføjet, jo mere præcist nås tallet e.

Lad os lave nogle test med lommeregneren og tilføje flere og flere tilføjelser:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

Jo flere vilkår der tilføjes til summen, desto mere ligner resultatet e.

Matematikere udtænkte en kompakt notation for disse summer, der involverede mange udtryk, ved hjælp af summationssymbolet Σ:

Dette udtryk læses således "summen fra n = 0 til uendelig 1 mellem n factorial".

Tallet e fra det geometriske synspunkt

Tallet e har en grafisk repræsentation relateret til området under kurvenes graf:

y = 1 / x

Når værdierne for x er mellem 1 og e, er dette område lig med 1, som illustreret i følgende figur:

Figur 2. Grafisk gengivelse af tallet e: området under 1 / x-kurven, mellem x = 1 og x = e er værd 1. Kilde: F. Zapata.

Egenskaber for tallet e

Nogle af egenskaberne for tallet e er:

-Det er irrationelt, det kan med andre ord ikke opnås ved blot at dele to hele tal.

-Tallet e er også et transcendent tal, hvilket betyder, at e ikke er en løsning på nogen polynom ligning.

-Det er relateret til fire andre berømte tal inden for matematik, nemlig: π, i, 1 og 0 gennem Euler-identiteten:

-Det såkaldte komplekse tal kan udtrykkes via e.

-Det udgør basen for nutidens naturlige eller naturlige logaritmer (den oprindelige definition af John Napier adskiller sig lidt).

-Det er det eneste antal, så dens naturlige logaritme er lig med 1, det vil sige:

Applikationer

Statistikker

Tallet e vises meget ofte inden for området sandsynlighed og statistik, der vises i forskellige distributioner, såsom normal eller Gaussian, Poisson og andre.

ingeniørarbejde

I teknik er det hyppigt, da den eksponentielle funktion y = e ^x for eksempel findes i mekanik og elektromagnetisme. Blandt de mange applikationer, vi kan nævne:

-Et kabel eller kæde, der hænger fast ved enderne, vedtager formen på kurven givet af:

y = (e ^x + e ^-x) / 2

-En oprindeligt udladet kondensator C, der er seriekoblet til en modstand R og en spændingskilde V til opladning, får en bestemt ladning Q som en funktion af tiden t, der er givet af:

Q (t) = CV (1-e- ^{t / RC})

biologi

Den eksponentielle funktion y = Ae ^Bx, med A og B konstant, bruges til at modellere cellevækst og bakterievækst.

Fysisk

I nukleær fysik modelleres radioaktivt henfald og aldersbestemmelse ved radiocarbon-datering.

Økonomi

Ved beregningen af ​​sammensat rente opstår antallet e naturligt.

Antag, at du har en vis mængde penge P _o til at investere i en rente på jeg% om året.

Hvis du forlader pengene i 1 år, vil du efter den tid have:

Efter endnu et år uden at røre ved det, har du:

Og fortsætter på denne måde i n år:

Lad os nu huske en af ​​definitionerne af e:

Det ligner udtrykket for P, så der skal være et forhold.

Vi vil fordele den nominelle rente i i n perioder, på denne måde vil den sammensatte rente være i / n:

Dette udtryk ligner lidt vores grænse, men det er stadig ikke nøjagtigt det samme.

Efter nogle algebraiske manipulationer kan det imidlertid vises, at ved at foretage denne ændring af variablen:

Vores penge P bliver:

Og hvad der er mellem klammeparenteserne, selvom det er skrevet med bogstavet h, er lig med argumentet for grænsen, der definerer tallet e, kun mangler grænsen.

Lad os lave h → ∞, og hvad der er mellem seler bliver tallet e. Dette betyder ikke, at vi er nødt til at vente uendeligt lang tid på at hæve vores penge.

Hvis vi ser nøje ved at lave h = n / i og tendens til ∞, er det, vi faktisk har gjort, spredt renten over meget, meget små tidsperioder:

i = n / h

Dette kaldes kontinuerlig sammensætning. I et sådant tilfælde beregnes pengebeløbet let på denne måde:

Hvor jeg er den årlige rente. For eksempel, når du indbetaler 12 € til 9% om året gennem kontinuerlig aktivering efter et år har du:

Med et overskud på 1,13 €.

Referencer

1. Nyd matematik. Sammensat interesse: Periodisk sammensætning. Gendannes fra: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Matematik 1.. Diversified. CO-BO-udgaver.
3. García, M. Nummeret e i elementær beregning. Gendannes fra: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Beregning af en variabel. 9th. Edition. McGraw Hill.