KOMPLEKSE TAL: EGENSKABER, EKSEMPLER, OPERATIONER - MATEMATIK - 2025

De komplekse tal er det numeriske sæt, der dækker reelle tal og alle rødderne af polynomerne inklusive parrødder med negative tal. Disse rødder findes ikke i mængden af ​​reelle tal, men i komplekse tal er der løsningen.

Et komplekst tal består af en reel del og en del kaldet "imaginær". Den virkelige del kaldes f.eks. En den imaginære del ib, med reelle tal a og b og "i" som den imaginære enhed. På denne måde har det komplekse nummer formen:

Figur 1.- Binomial repræsentation af et komplekst tal med hensyn til reel del og imaginær del. Kilde: Pixabay.

Eksempler på komplekse tal er 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Men inden vi arbejder med dem, lad os se, hvor den imaginære enhed, jeg stammer fra, i betragtning af denne kvadratiske ligning:

x ² - 10x + 34 = 0

Hvor a = 1, b = -10 og c = 34.

Når vi anvender opløsningsformlen til bestemmelse af løsningen, finder vi følgende:

Hvordan bestemmes værdien af ​​√-36? Der er ikke noget reelt tal, der kvadratet producerer en negativ mængde. Derefter konkluderes det, at denne ligning ikke har reelle løsninger.

Vi kan dog skrive dette:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Hvis vi definerer en bestemt værdi x sådan, at:

x ² = -1

Så:

x = ± √-1

Og ovennævnte ligning ville have en løsning. Derfor blev den imaginære enhed defineret som:

i = √-1

Også:

√-36 = 6i

Mange matematikere fra antikken arbejdede med at løse lignende problemer, især Renaissance Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) og Raffaele Bombelli (1526-1572).

År senere kaldte René Descartes (1596-1650) mængderne "imaginære" som √-36 i eksemplet. Af denne grund kaldes √-1 den imaginære enhed.

Egenskaber ved komplekse tal

-Sættet med komplekse tal betegnes som C og inkluderer de reelle tal R og de imaginære tal Im. Talsættene er repræsenteret i et Venn-diagram som vist i følgende figur:

Figur 2. Venn-diagram over nummersæt. Kilde: F. Zapata.

-Alle komplekse tal består af en reel del og en imaginær del.

-Når den imaginære del af et komplekst tal er 0, er det et rent reelt tal.

-Hvis den reelle del af et komplekst tal er 0, så er antallet rent imaginært.

-To komplekse tal er ens, hvis deres respektive reelle del og imaginære del er ens.

-Med komplekse numre udføres de kendte operationer med tilføjelse, subtraktion, multiplikation, produkt og forbedring, hvilket resulterer i et andet komplekst tal.

Repræsentation af komplekse tal

Komplekse tal kan repræsenteres på forskellige måder. Her er de vigtigste:

- Binomial form

Det er den form, der er givet i begyndelsen, hvor z er det komplekse tal, a er den virkelige del, b er den imaginære del og i er den imaginære enhed:

Eller også:

En måde at tegne det komplekse tal på er gennem det komplekse plan, der er vist i denne figur. Den imaginære akse Im er lodret, mens den virkelige akse er vandret og betegnes som Re.

Det komplekse tal z er repræsenteret i dette plan som et punkt med koordinater (x, y) eller (a, b), som det gøres med punkterne på det virkelige plan.

Afstanden fra oprindelsen til punktet z er modulet for det komplekse tal, betegnet som r, mens φ er den vinkel, som r gør med den rigtige akse.

Figur 3. Repræsentation af et komplekst tal i det komplekse plan. Kilde: Wikimedia Commons.

Denne repræsentation er tæt forbundet med vektorer i det virkelige plan. Værdien af ​​r svarer til modulet for det komplekse tal.

- Polær form

Den polære form består i at udtrykke det komplekse tal ved at give værdierne for r og φ. Hvis vi ser på figuren, svarer værdien af ​​r til hypotenusen for en højre trekant. Benene er værd a og b eller x og y.

Fra binomial eller binomial form kan vi flytte til polær form ved at:

Vinklen φ er den, der dannes af segmentet r med den vandrette akse eller den imaginære akse. Det er kendt som det komplekse talargument. På denne måde:

Argumentet har uendelige værdier, idet man tager højde for, at hver gang en drej drejes, hvilket er værd at 2π radianer, r indtager den samme position igen. På denne generelle måde udtrykkes argumentet fra z, betegnet Arg (z), sådan:

Hvor k er et heltal og bruges til at indikere antallet af drejede drejninger: 2, 3, 4…. Tegnet angiver rotationsretningen, hvis det er med uret eller mod uret.

Figur 4. Polær repræsentation af et komplekst tal i det komplekse plan. Kilde: Wikimedia Commons.

Og hvis vi vil gå fra den polære form til den binomiale form, bruger vi de trigonometriske forhold. Fra det forrige tal kan vi se, at:

x = r cos φ

y = r synd φ

På denne måde z = r (cos φ + i sin φ)

Hvilket er forkortet sådan:

z = r cis φ

Eksempler på komplekse tal

Følgende komplekse tal er angivet i binomial form:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

Og disse i form af et ordnet par:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7,0)

Endelig gives denne gruppe i polær eller trigonometrisk form:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Hvad er de til?

Nyttigheden af ​​komplekse tal går ud over at løse den kvadratiske ligning vist i starten, da de er essentielle inden for ingeniørvidenskab og fysik, især inden for:

-Studiet af elektromagnetiske bølger

-Analyse af vekselstrøm og spænding

-Modelleringen af ​​alle slags signaler

-Relativitetsteorien, hvor tiden antages som en forestillingsstørrelse.

Kompleks antal operationer

Med komplekse tal kan vi udføre alle de handlinger, der udføres med rigtige. Nogle er lettere at gøre, hvis tallene kommer i binomial form, såsom tilføjelse og subtraktion. I modsætning hertil er multiplikation og opdeling enklere, hvis de udføres med den polære form.

Lad os se nogle eksempler:

- Eksempel 1

Tilføj z ₁ = 2 + 5i og z ₂ = -3 -8i

Løsning

De rigtige dele tilføjes separat fra de imaginære dele:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Eksempel 2

Multipliser z ₁ = 4 cis 45º og z ₂ = 5 cis 120º

Løsning

Det kan vises, at produktet med to komplekse tal i polær eller trigonometrisk form er givet ved:

z ₁. z ₂ = r ₁.r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂)

I henhold til dette:

z ₁. z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Ansøgning

En simpel anvendelse af komplekse tal er at finde alle rødderne i en polynom ligning som den der blev vist i begyndelsen af ​​artiklen.

I tilfælde af ligningen x ² - 10x + 34 = 0, anvendelse af opløsningsformlen opnår vi:

Derfor er løsningen:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Referencer

1. Earl, R. Komplekse tal. Gendannes fra: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematik 1.. Diversified. CO-BO-udgaver.
3. Hoffmann, J. 2005. Valg af matematiske emner. Monfort-publikationer.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Komplekse tal. Gendannet fra: en.wikipedia.org