HELE TAL: EGENSKABER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK - 2025

De hele tal er et sæt af nyttige numre til at tælle genstande komplette rige og har ikke. Også at tælle dem, der er på den ene side og på den anden side af et bestemt referencested.

Også med hele tal kan du udføre subtraktionen eller forskellen mellem et tal og et andet, der er større end det, hvor resultatet for eksempel afregnes som en gæld. Forskellen mellem indtjening og gæld foretages med henholdsvis + og - tegn.

Figur 1. Tallelinjen for hele tal. Kilde: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Derfor inkluderer sæt af hele numre følgende:

-Positive heltal, der er skrevet forud for et + -tegn, eller simpelthen uden tegnet, da det også forstås, at de er positive. For eksempel: +1, +2, + 3… og så videre.

-0, hvor tegnet ikke er relevant, da det ikke betyder noget at tilføje det for at trække det fra en vis mængde. Men 0 er meget vigtigt, da det er referencen for heltalene: på den ene side er positive og på den anden side negativer, som vi ser i figur 1.

-Negative heltal, som altid skal skrives forud for tegnet - da der med dem skelnes mellem beløb som gæld og alle dem, der er på den anden side af referencen. Eksempler på negative heltal er: -1, -2, -3… og derefter.

Hvordan er heltal repræsenteret?

I begyndelsen repræsenterer vi hele numrene med den angivne notation: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, det vil sige lister og organiseret. Men en meget nyttig repræsentation er den, der anvendes af talelinjen. Dette kræver at tegne en linje, der generelt er vandret, på hvilken 0 er markeret og opdelt i identiske sektioner:

Figur 2. Repræsentation af hele tal på talelinjen. Fra 0 til højre er de positive heltal og fra 0 til venstre de negative. Kilde: F. Zapata.

Negativerne går til venstre for 0, og positive går til højre. Pilene på talelinjen symboliserer, at tallene fortsætter til uendelig. Givet et hvilket som helst heltal er det altid muligt at finde et, der er større eller et andet, der er mindre.

Den absolutte værdi af et heltal

Den absolutte værdi af et heltal er afstanden mellem tallet og 0. Og afstandene er altid positive. Derfor er den absolutte værdi af det negative heltal tallet uden dets minustegn.

For eksempel er den absolutte værdi af -5 5. Den absolutte værdi er angivet med søjler som følger:

- 5- = 5

For at visualisere det, skal du bare tælle mellemrumene på talelinjen, fra -5 til 0. Mens den absolutte værdi af et positivt heltal er det samme tal, for eksempel - + 3- = 3, da dets afstand fra 0 er med 3 mellemrum:

Figur 3. Den absolutte værdi af et helt tal er altid en positiv mængde. Kilde: F. Zapata.

Ejendomme

-Sæt med heltal er betegnet som Z og inkluderer sættet med naturlige tal N, hvor deres elementer er uendelige.

-Et heltal og det der følger (eller det der går foran det) er altid differentieret i enhed. For eksempel, efter 5 kommer 6, hvor 1 er forskellen mellem dem.

-Hvert heltal har en forgænger og en efterfølger.

-Hver positivt heltal er større end 0.

-Et negativt heltal er altid mindre end 0 og ethvert positivt tal. Tag for eksempel antallet -100, dette er mindre end 2, end 10 og end 50. Men det er også mindre end -10, -20 og -99, og det er større end -200.

-0 har ikke tegnovervejelser, da det hverken er negativt eller positivt.

-Med hele tal kan du udføre de samme operationer, der udføres med naturlige tal, nemlig: tilføjelse, subtraktion, multiplikation, empowerment og mere.

-Heltallet overfor et bestemt heltal x er –x, og summen af ​​et heltal med det modsatte er 0:

x + (-x) = 0.

Handling med heltal

- Sum

-Hvis tallene, der skal tilføjes, har det samme tegn, tilføjes deres absolutte værdier, og resultatet placeres med det tegn, som tilføjelserne har. Her er nogle eksempler:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Hvis tallene har et andet tegn, trækkes de absolutte værdier (den højeste fra den laveste), og resultatet placeres med tegnet på tallet med den højeste absolutte værdi, som følger:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Egenskaber for summen af ​​heltal

-Summen er kommutativ, derfor ændrer tilføjelsernes rækkefølge ikke summen. Lad a og b være to heltal, det er rigtigt, at a + b = b + a

-0 er det neutrale element i summen af ​​heltal: a + 0 = a

-Hver et helt tal, der føjes til det modsatte, er 0. Det modsatte af + a er –a, og omvendt er det modsatte af –a + a. Derfor: (+ a) + (-a) = 0.

Figur 2. Tegnregel for tilføjelse af hele tal. Kilde: Wikimedia Commons.

- Subtraktion

For at subtrahere hele tal skal man styres af denne regel: subtraktion svarer til tilføjelsen af ​​et tal med det modsatte. Lad a og b være to tal, så:

a - b = a + (-b)

Antag f.eks., At du skal udføre følgende handling: (-3) - (+7), derefter:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Multiplikation

Multiplikation af hele tal følger visse regler for tegn:

-Produktet af to tal med det samme tegn er altid positivt.

-Når to tal med forskellige tegn multipliseres, er resultatet altid negativt.

-Værdien af ​​produktet er lig med at multiplicere de respektive absolutte værdier.

Umiddelbart nogle eksempler, der tydeliggør ovenstående:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Egenskaber ved multiplikation af heltal

-Multiplikation er kommutativ. Lad a og b være to heltal, det er rigtigt, at: ab = ba, som også kan udtrykkes som:

- Multiplikationens neutrale element er 1. Lad a være et helt tal, derfor a.1 = 1

-Hvert heltal ganget med 0 er lig med 0: a.0 = 0

Den distribuerende ejendom

Multiplikation overholder den distribuerende ejendom med hensyn til tilføjelse. Hvis a, b og c er hele tal, så:

a. (b + c) = ab + ac

Her er et eksempel på, hvordan du anvender denne egenskab:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3).11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Empowerment

-Hvis basen er positiv, er resultatet af operationen altid positivt.

-Når basen er negativ, hvis eksponenten er jævn, er resultatet positivt. og hvis eksponenten er underlig, er resultatet negativt.

- Division

De samme tegnregler gælder i opdeling som i multiplikation:

-Når man deler to hele tal af det samme tegn, er resultatet altid positivt.

-Når to heltal med forskellige tegn er delt, er kvotienten negativ.

For eksempel:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Vigtigt: opdeling er ikke kommutativ, med andre ord a ÷ b ≠ b ÷ a og som altid er division med 0 ikke tilladt.

- Empowerment

Lad a være et heltal, og vi vil hæve det til en eksponent n, så vi skal multiplicere a med sig selv n gange, som vist nedenfor:

a ⁿ = aaaa…..a

Overvej også følgende under hensyntagen til, at n er et naturligt tal:

-Hvis a er negativ og n er jævn, er resultatet positivt.

-Når a er negativ og n er underligt, resulterer det i et negativt tal.

-Hvis a er positiv og n er jævn eller ulig, resulterer der altid et positivt heltal.

-Hvert heltal hævet til 0 er lig med 1: a ⁰ = 1

-Hvert tal hævet til 1 er lig med antallet: a ¹ = a

Lad os sige for eksempel, at vi ønsker at finde (–3) ⁴, for at gøre det multiplicerer vi (-3) fire gange af sig selv som dette: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Et andet eksempel, også med et negativt heltal, er:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Produkt af beføjelser med ligevægt

Antag to kræfter med samme base, hvis vi multiplicerer dem, får vi en anden magt med den samme base, hvis eksponent er summen af ​​de givne eksponenter:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Lige basekræfter kvotient

Når man deler kræfter med samme base, er resultatet en magt med den samme base, hvis eksponent er subtraktionen af ​​de givne eksponenter:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Her er to eksempler, der præciserer disse punkter:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

eksempler

Lad os se enkle eksempler til anvendelse af disse regler, idet vi husker, at i tilfælde af positive heltal kan skiltet undgås:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Løst øvelser

- Øvelse 1

En maur bevæger sig langs talelinjen i figur 1. Fra punktet x = +3 foretager den følgende bevægelser:

-Fører 7 enheder til højre

-Nu returnerer du 5 enheder til venstre

-Gå yderligere 3 enheder til venstre.

-Han går tilbage og flytter 4 enheder til højre.

På hvilket tidspunkt er myren i slutningen af ​​turen?

Løsning

Lad os kalde forskydningerne D. Når de er til højre, får de et positivt tegn, og når de er til venstre, et negativt tegn. På denne måde og med start fra x = +3 har vi:

-Første D: x ₁ = +3 + 7 = +10

- Andet D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

- Tredje D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Værelse D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Når myren er færdig med at gå, er den i positionen x = +6. Det vil sige, det er 6 enheder til højre for 0 på talelinjen.

- Øvelse 2

Løs følgende handling:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Løsning

Denne handling indeholder grupperingstegn, som er parenteser, firkantede parenteser og seler. Når du løser, skal du først tage sig af parenteserne, derefter parenteserne og til sidst seler. Med andre ord skal du arbejde indefra og ud.

I denne øvelse repræsenterer punktet en multiplikation, men hvis der ikke er noget punkt mellem et tal og en parentes eller et andet symbol, forstås det også at være et produkt.

Under opløsningen trin for trin fungerer farverne som en guide til at følge resultatet af reduktion af parenteserne, som er de inderste grupperingssymboler:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Øvelse 3

Løs den første grads ligning:

12 + x = 30 + 3x

Løsning

Udtrykkene er grupperet med det ukendte til venstre for ligheden og de numeriske udtryk til højre:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Referencer

1. Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. National Litoral University.
2. Figuera, J. 2000. Matematik i 7. klasse. CO-BO-udgaver.
3. Hoffmann, J. 2005. Valg af matematiske emner. Monfort-publikationer.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Hele tallene. Gendannes fra: Cimanet.uoc.edu.