FORESTILTE TAL: EGENSKABER, APPLIKATIONER, EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

De imaginære tal er dem, der løser ligningen, hvor det ukendte, hævet til kvadratet er lig med et negativt reelt tal. Den imaginære enhed er i = √ (-1).

I ligningen: z ² = - a, z er et imaginært tal, der udtrykkes som følger:

z = √ (-a) = i√ (a)

At være et positivt reelt tal. Hvis a = 1, så er z = i, hvor i er den imaginære enhed.

Figur 1. Komplekset plan, der viser nogle reelle tal, nogle imaginære tal og nogle komplekse tal. Kilde: F. Zapata.

Generelt udtrykkes et rent imaginært tal z altid i formen:

z = y⋅i

Hvor y er et reelt tal, og i er den imaginære enhed.

Ligesom reelle tal er repræsenteret på en linje, kaldet den rigtige linje, repræsenteres på lignende måde imaginære tal på den imaginære linje.

Den imaginære linje er altid ortogonal (90º-form) til den rigtige linje, og de to linjer definerer et kartesisk plan kaldet det komplekse plan.

I figur 1 er det komplekse plan vist, og på det er nogle reelle tal, nogle imaginære tal og også nogle komplekse tal repræsenteret:

X ₁, X ₂, X ₃ er reelle tal

Y ₁, Y ₂, Y ₃ er imaginære tal

Z ₂ og Z ₃ er komplekse tal

Tallet O er den reelle nul, og det er også den imaginære nul, så oprindelsen O er den komplekse nul udtrykt ved:

0 + 0i

Ejendomme

Sættet med imaginære tal er betegnet med:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

Og du kan definere nogle operationer på dette numeriske sæt. Et imaginært nummer opnås ikke altid fra disse operationer, så lad os se på dem lidt mere detaljeret:

Tilføj og træk imaginær

Imaginære tal kan tilføjes og trækkes fra hinanden, hvilket resulterer i et nyt imaginært nummer. For eksempel:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Produkt af imaginær

Når produktet fremstilles af et imaginært nummer med et andet, er resultatet et reelt tal. Lad os gøre følgende for at kontrollere det:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

Og som vi kan se, -6 er et reelt tal, skønt det er opnået ved at multiplicere to rene imaginære tal.

Produkt af et reelt tal af en anden imaginær

Hvis et reelt tal ganges med i, vil resultatet være et imaginært tal, der svarer til en 90-graders rotation mod uret.

Og det er, at i ² svarer til to på hinanden følgende rotationer på 90 grader, hvilket er ækvivalent med at multiplicere med -1, dvs. i ² = -1. Det kan ses i det følgende diagram:

Figur 2. Multiplikationen med den imaginære enhed i svarer til 90 ° rotation mod uret. Kilde: wikimedia commons.

For eksempel:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Empowerment af en imaginær

Du kan definere potentiering af et imaginært nummer til en heltaleksponent:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Generelt har vi, at i ⁿ = i ^ (n mod 4), hvor mod er resten af ​​opdelingen mellem n og 4.

Negativ heltal-potentiering kan også udføres:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹) = i / (i ²) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Generelt er det imaginære tal b⋅i hævet til magten n:

(bi) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Nogle eksempler er følgende:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Summen af ​​et reelt tal og et imaginært tal

Når du tilføjer et reelt tal med et imaginært nummer, er resultatet hverken reelt eller imaginært, det er en ny type nummer kaldet et komplekst tal.

For eksempel, hvis X = 3,5 og Y = 3,75i, så er resultatet det komplekse tal:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Bemærk, at i summen kan de reelle og imaginære dele ikke grupperes, så et komplekst tal vil altid have en reel del og en imaginær del.

Denne operation udvider sættet med reelle tal til det bredeste af komplekse tal.

Applikationer

Navnet på imaginære numre blev foreslået af den franske matematiker René Descartes (1596-1650) som en hån eller uenighed med forslaget om det samme fremsat af den italienske matematiker fra århundrede Raffaelle Bombelli.

Andre store matematikere, såsom Euler og Leibniz, understøttede Descartes i denne uenighed og kaldte imaginære tal amfibiske tal, som blev revet mellem væren og intet.

Navnet på imaginære tal forbliver i dag, men deres eksistens og betydning er meget reel og håndgribelig, da de forekommer naturligt i mange fysiske områder, såsom:

-Relativitetsteorien.

-I elektromagnetisme.

-Kvantemekanik.

Øvelser med imaginære tal

- Øvelse 1

Find løsningen på følgende ligning:

z ² + 16 = 0

Løsning

z ² = -16

Når vi tager firkantet rod i begge medlemmer, har vi:

√ (z ²) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Med andre ord er løsningen på den originale ligning:

z = + 4i oz = -4i.

- Øvelse 2

Find resultatet af at hæve den imaginære enhed til effekten 5 minus subtraktionen af ​​den imaginære enhed hævet til effekten -5.

Løsning

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Øvelse 3

Find resultatet af følgende operation:

(3i) ³ + 9i

Løsning

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Øvelse 4

Find løsningen på følgende kvadratiske ligning:

(-2x) ² + 2 = 0

Løsning

Ligningen omarrangeres som følger:

(-2x) ² = -2

Derefter tages kvadratroden af ​​begge medlemmer

√ ((- 2x) ²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Derefter løser vi for x for endelig at få:

x = ± √2 / 2 i

Der er to mulige løsninger:

x = (√2 / 2) i

Eller denne anden:

x = - (√2 / 2) i

- Øvelse 5

Find værdien af ​​Z defineret af:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Løsning

Vi ved, at kvadratroten af ​​et negativt reelt tal er et imaginært tal, for eksempel √ (-9) er lig med √ (9) x √ (-1) = 3i.

På den anden side er √ (-4) lig med √ (4) x √ (-1) = 2i.

Så den originale ligning kan erstattes af:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Øvelse 6

Find værdien af ​​Z, der følger af følgende opdeling af to komplekse tal:

Z = (9 - i ²) / (3 + i)

Løsning

Tælleren for udtrykket kan fabrikeres ved hjælp af følgende egenskab:

Så:

Z = / (3 + i)

Det resulterende udtryk forenkles nedenfor og forlader

Z = (3 - i)

Referencer

1. Earl, R. Komplekse tal. Gendannes fra: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematik 1.. Diversified. CO-BO-udgaver.
3. Hoffmann, J. 2005. Valg af matematiske emner. Monfort-publikationer.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Fantastisk nummer. Gendannet fra: en.wikipedia.org