IRRATIONELLE TAL: HISTORIE, EGENSKABER, KLASSIFICERING, EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

De irrationelle tal er dem, hvis udtryk har uendelige decimaler uden et gentagende mønster, derfor ikke kan opnås fra forholdet mellem to heltal.

Blandt de bedst kendte irrationelle tal er:

Figur 1. Fra top til bund følgende irrationelle tal: pi, Eulers tal, det gyldne forhold og to firkantede rødder. Kilde: Pixabay.

Blandt dem er uden tvivl π (pi) den mest kendte, men der er mange flere. Alle tilhører sættet med reelle tal, som er det numeriske sæt, der grupperer rationelle og irrationelle tal.

Ellipsis i figur 1 viser, at decimalerne fortsætter på ubestemt tid, hvad der sker er, at rummet på almindelige regnemaskiner kun tillader at vise et par stykker.

Hvis vi ser nøje, når vi foretager kvotienten mellem to hele tal, får vi en decimal med begrænsede tal eller, hvis ikke, med uendelige tal, hvor en eller flere gentages. Dette sker ikke med irrationelle tal.

Historie om irrationelle tal

Den store gamle matematiker Pythagoras, født i 582 f.Kr. i Samos, Grækenland, grundlagde Pythagorean tankegang og opdagede det berømte teorem, der bærer hans navn. Vi har det her nede til venstre (babylonierne har måske kendt det længe før).

Figur 2. Pythagorean sætning anvendt på en trekant med sider lig med 1. Kilde: Pixabay / Wikimedia Commons.

Nå, da Pythagoras (eller sandsynligvis en discipel af hans) anvendte teoremet på en højre trekant med sider lig med 1, fandt han det irrationelle tal √2.

Han gjorde det på denne måde:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

Og han indså straks, at dette nye nummer ikke kom fra kvoten mellem to andre naturlige numre, som var dem, der var kendt på det tidspunkt.

Han kaldte det derfor irrationelt, og opdagelsen skabte stor angst og forvirring blandt pythagoræerne.

Egenskaber ved irrationelle tal

-Den sæt af alle irrationelle tal er angivet med bogstavet I og undertiden som Q * eller Q ^C. Sammenhængen mellem de irrationelle tal I eller Q * og de rationelle tal Q giver anledning til sættet af reelle tal R.

-Med irrationelle tal kan de kendte aritmetiske operationer udføres: tilføjelse, subtraktion, multiplikation, opdeling, empowerment og mere.

-Delingen med 0 er heller ikke defineret mellem irrationelle tal.

-Summen og produktet mellem irrationelle tal er ikke nødvendigvis et andet irrationelt tal. For eksempel:

√2 x √8 = √16 = 4

Og 4 er ikke et irrationelt tal.

- Summen af ​​et rationelt antal plus et irrationelt tal giver dog et irrationelt resultat. På denne måde:

1 + √2 = 2.41421356237…

-Produktet af et rationelt antal, der adskiller sig fra 0 med et irrationelt tal, er også irrationelt. Lad os se på dette eksempel:

2 x √2 = 2.828427125…

-Inversionen af ​​et irrationelt resulterer i et andet irrationelt antal. Lad os prøve nogle:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Disse tal er interessante, fordi de også er værdierne for nogle trigonometriske forhold mellem kendte vinkler. De fleste af de trigonometriske forhold er irrationelle tal, men der er undtagelser, såsom sin 30º = 0,5 = ½, hvilket er rationelt.

-I summen er de kommutative og tilknyttede egenskaber opfyldt. Hvis a og b er to irrationelle tal, betyder det, at:

a + b = b + a.

Og hvis c er et andet irrationelt tal, så:

(a + b) + c = a + (b + c).

-Den fordelende egenskab ved multiplikation med hensyn til tilføjelse er en anden velkendt egenskab, der også gælder for irrationelle tal. I dette tilfælde:

a. (b + c) = ab + ac

-En irrationel a har det modsatte: -a. Når de tilføjes sammen, er resultatet 0:

a + (- a) = 0

Mellem to forskellige rationaler er der mindst et irrationelt antal.

Placering af et irrationelt nummer på den rigtige linje

Den rigtige linje er en vandret linje, hvor de reelle tal er placeret, hvor de irrationelle tal er en vigtig del.

For at finde et irrationelt tal på den rigtige linje, i geometrisk form, kan vi bruge Pythagorean-sætningen, en lineal og et kompas.

Som eksempel vil vi lokalisere √5 på den rigtige linje, som vi tegner en højre trekant med siderne x = 2 og y = 1, som vist på figuren:

Figur 3. Metode til at lokalisere et irrationelt tal på den rigtige linje. Kilde: F. Zapata.

Ved den Pythagoreiske teorem er hypotenusen for en sådan trekant:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Nu er kompasset placeret med punktet 0, hvor en af ​​højdepunkterne i den højre trekant også er. Punktet med kompassblyanten skal være i toppunkt A.

Der tegnes en omkredsbue, der skærer den rigtige linje. Da afstanden mellem omkredsens centrum og ethvert punkt på det er radius, der er lig med √5, er skæringspunktet også langt √5 fra midten.

Fra grafen kan det ses, at √5 er mellem 2 og 2,5. En lommeregner giver os den omtrentlige værdi af:

√5 = 2.236068

Og så ved at bygge en trekant med de passende sider, kan andre irrationelle placeres, f.eks. √7 og andre.

Klassificering af irrationelle tal

Irrationelle tal klassificeres i to grupper:

-Algebraic

-Transcendental eller transcendental

Algebraiske tal

Algebraiske tal, som måske eller måske ikke er irrationelle, er løsninger af polynomiske ligninger, hvis generelle form er:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Et eksempel på en polynom ligning er en kvadratisk ligning som denne:

x ³ - 2x = 0

Det er let at vise, at det irrationelle tal √2 er en af ​​løsningen i denne ligning.

Transcendent tal

På den anden side opstår de transcendente tal, selvom de er irrationelle, aldrig som en løsning på en polynom ligning.

De transcendente tal, der ofte findes i anvendt matematik, er π på grund af dets forhold til omkredsen og antallet e eller Eulers tal, som er basen for naturlige logaritmer.

Dyrke motion

En grå firkant placeres på en sort firkant i den position, der er angivet på figuren. Arealet af den sorte firkant er kendt for at være 64 cm ². Hvor meget er længderne på begge firkanter?

Figur 4. To firkanter, hvoraf vi vil finde længden på siderne. Kilde: F. Zapata.

Svar

Arealet af en firkant med side L er:

A = L ²

Da den sorte firkant er 64 cm ² i arealet, skal dens side være 8 cm.

Denne måling er den samme som diagonalen i den grå firkant. Anvendelse af Pythagorean-sætningen på denne diagonal og huskning, at siderne på et kvadrat måler det samme, vil vi have:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Hvor L _g er siden af ​​den grå firkant.

Derfor: 2L _g ² = 8 ²

Anvendelse af firkantet rod på begge sider af ligestillingen:

L _g = (8 / √2) cm

Referencer

1. Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. National Litoral University.
2. Figuera, J. 2000. Matematik 9.. Grad. CO-BO-udgaver.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Uddannelsesportal. Irrationelle tal og deres egenskaber. Gendannet fra: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Irrationelle tal. Gendannet fra: es.wikipedia.org.