RATIONELLE TAL: EGENSKABER, EKSEMPLER OG OPERATIONER - MATEMATIK - 2025

De rationelle tal er alle numre kan fås som opdelingen af ​​to heltal. Eksempler på rationelle tal er: 3/4, 8/5, -16/3 og de, der vises i den følgende figur. I et rationelt tal vises kvoten, hvor det er muligt at gøre det senere, hvis nødvendigt.

Figuren repræsenterer ethvert objekt, rundt for større komfort. Hvis vi ønsker at opdele det i 2 lige store dele, som i højre, har vi to halvdele tilbage, og hver er 1/2 værd.

Figur 1. Rationelle tal bruges til at opdele helheden i flere dele. Kilde: Freesvg.

Ved at dele den i 4 lige store dele, får vi 4 stykker, og hver af dem er værd 1/4, som på billedet i midten. Og hvis den skal opdeles i 6 lige store dele, ville hver del være værd 1/6, som vi ser på billedet til venstre.

Selvfølgelig kunne vi også opdele det i to ulige dele, for eksempel kunne vi holde 3/4 dele og gemme 1/4 del. Andre opdelinger er også mulige, såsom 4/6 dele og 2/6 dele. Det vigtigste er, at summen af ​​alle dele er 1.

På denne måde er det tydeligt, at du med rationelle tal kan opdele, tælle og distribuere ting som mad, penge, jord og alle slags genstande i brøk. Og så udvides antallet af operationer, der kan udføres med tal.

Rationelle tal kan også udtrykkes i decimalform, som det kan ses i de følgende eksempler:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333…..

3/4 = 0,75

1/7 = 0.142857142857142857 ………

Senere vil vi indikere, hvordan man går fra en form til en anden med eksempler.

Egenskaber ved rationelle tal

Rationelle tal, hvis sæt vi vil betegne med bogstavet Q, har følgende egenskaber:

-Q inkluderer naturlige tal N og heltal Z.

Når man tager højde for, at ethvert tal a kan udtrykkes som kvoten mellem sig selv og 1, er det let at se, at der blandt de rationelle tal også findes naturlige tal og heltal.

Således kan det naturlige nummer 3 skrives som en brøkdel, og også -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

På denne måde er Q et numerisk sæt, der inkluderer et større antal tal, noget meget nødvendigt, da de "runde" numre ikke er nok til at beskrive alle de mulige operationer, der skal udføres.

-Rationelle tal kan tilføjes, trækkes fra, multipliceres og deles, hvor resultatet af operationen er et rationelt tal: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Mellem hvert par rationelle tal kan der altid findes et andet rationelt tal. I virkeligheden mellem to rationelle tal er der uendelige rationelle tal.

For eksempel mellem rationalerne 1/4 og 1/2 er rationalerne 3/10, 7/20, 2/5 (og mange flere), som kan verificeres ved at udtrykke dem som decimaler.

-Hver rationelt antal kan udtrykkes som: i) et helt tal eller ii) en begrænset (streng) eller periodisk decimal: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0.16666666 ……

-Et samme antal kan repræsenteres af uendelige ækvivalente fraktioner, og alle tilhører Q. Lad os se denne gruppe:

De repræsenterer alle decimal 0.428571…

-Af alle de ækvivalente fraktioner, der repræsenterer det samme antal, er den irreducerbare fraktion, den enkleste af alle, den kanoniske repræsentant for dette antal. Den kanoniske repræsentant for eksemplet ovenfor er 3/7.

Figur 2.- Sættet Q for de rationelle tal. Kilde: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Eksempler på rationelle tal

-Retter fraktioner, de, hvor tælleren er mindre end nævneren:

-Ukorrekt fraktioner, hvis tæller er større end nævneren:

-Naturlige tal og hele tal:

-Ækvivalente fraktioner:

Decimal repræsentation af et rationelt antal

Når tælleren er divideret med nævneren, findes decimalformen for det rationelle antal. For eksempel:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0.11111…

6/11 = 0.545454…

I de to første eksempler er antallet af decimaler begrænset. Dette betyder, at når opdelingen er færdig, opnås endelig en rest på 0.

På den anden side er antallet af decimaler uendelig i de næste to, og det er derfor, ellipsen placeres. I sidstnævnte tilfælde er der et mønster i decimalerne. I tilfælde af fraktion 1/9 gentages tallet 1 på ubestemt tid, mens det i 6/11 er 54.

Når dette sker, siges decimalen at være periodisk og betegnes med en penge som denne:

Transformer en decimal til en brøk

Hvis det er en begrænset decimal, fjernes komma simpelthen, og nævneren bliver enheden efterfulgt af så mange nuller, som der er tal i decimal. For eksempel at omdanne decimal 1,26 til en brøk skal du skrive den sådan:

1,26 = 126/100

Derefter forenkles den resulterende fraktion til det maksimale:

126/100 = 63/50

Hvis decimalerne er ubegrænset, identificeres perioden først. Derefter følges disse trin for at finde den resulterende brøk:

-Tælleren er subtraktionen mellem nummeret (uden komma eller caret) og den del, der ikke har caret.

-Nævneren er et heltal med så mange 9 som der er tal under circumflex, og lige så mange 0 som der er tal for decimaldelen, der ikke er under circumflex.

Lad os følge denne procedure for at omdanne decimaltallet 0.428428428… til en brøkdel.

-Først identificeres perioden, som er den sekvens, der gentages: 428.

-Derefter er operationen med at trække tallet uden komma eller accent udført: 0428 fra den del, der ikke har en circumflex, som er 0. Det er således 428 - 0 = 428.

-Nævnen er konstrueret, vel vidende, at der under circumflex er 3 figurer, og at alle er under circumflex. Derfor er nævneren 999.

Endelig dannes og forenkles fraktionen, hvis det er muligt:

0,428 = 428/999

Det er ikke muligt at forenkle mere.

Operationer med rationelle tal

- Tilføj og træk

Fraktioner med samme nævner

Når fraktionerne har den samme nævner, er det meget let at tilføje og / eller subtrahere dem, fordi tællerne simpelthen tilføjes algebraisk, hvilket efterlader det samme som tilføjelser som nævneren for resultatet. Endelig, hvis det er muligt, er det forenklet.

Eksempel

Udfør følgende algebraiske tilføjelse og forenkler resultatet:

Den resulterende fraktion er allerede irreducerbar.

Fraktioner med forskellige nævnere

I dette tilfælde erstattes tilsætningerne med ækvivalente fraktioner med den samme nævner, og derefter følges den allerede beskrevne procedure.

Eksempel

Tilføj algebraisk følgende rationelle tal, hvilket forenkler resultatet:

Trinnene er:

-Bestem det mindst almindelige multiple (lcm) af nævnerne 5, 8 og 3:

lcm (5,8,3) = 120

Dette vil være nævneren for den resulterende brøk uden at forenkle.

-For hver brøkdel: del LCM med nævneren og multiplicer med tælleren. Resultatet af denne operation placeres med dets respektive tegn i tælleren for brøkdelen. På denne måde opnås en brøkdel svarende til originalen, men med LCM som nævner.

For den første brøk er tælleren for eksempel konstrueret sådan: (120/5) x 4 = 96, og vi får:

Fortsæt på samme måde for de resterende fraktioner:

Endelig erstattes de ækvivalente fraktioner uden at glemme deres tegn, og tællernes algebraiske sum udføres:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Multiplikation og opdeling

Multiplikation og opdeling udføres efter nedenstående regler:

Figur 3. Regler for multiplikation og opdeling af rationelle tal. Kilde: F. Zapata.

Under alle omstændigheder er det vigtigt at huske, at multiplikation er kommutativ, hvilket betyder, at rækkefølgen af ​​faktorer ikke ændrer produktet. Dette sker ikke med opdeling, så man skal sørge for at respektere rækkefølgen mellem udbytte og divisor.

Eksempel 1

Udfør følgende handlinger og forenkle resultatet:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Svar til

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Svar b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Eksempel 2

Luisa havde $ 45. Han brugte en tiendedel af det til at købe en bog og 2/5 af det, der var tilbage på en t-shirt. Hvor mange penge har Luisa tilbage? Udtrykk resultatet som en irreducerbar brøkdel.

Løsning

Bogen koster (1/10) x $ 45 = 0,1 x $ 45 = $ 4,5

Derfor sad Luisa tilbage med:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

Med de penge gik Luisa til tøjbutikken og købte skjorten, hvis pris er:

(2/5) x $ 40,5 = $ 16,2

Nu har Luisa i sin portefølje:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

For at udtrykke det som en brøkdel skrives det sådan:

24,3 = 243/10

Det er irreducible.

Referencer

1. Baldor, A. 1986. Aritmetik. Editions and Distribution Codex.
2. Carena, M. 2019. Manual of Mathematics. National Litoral University.
3. Figuera, J. 2000. Matematik 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. De rationelle tal. Gendannes fra: Cimanet.uoc.edu.
6. Rationelle tal. Gendannes fra: webdelprofesor.ula.ve.