TRANSCENDENT TAL: HVAD ER DE, FORMLER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK - 2025

De transcendentale tal er dem, der ikke kan opnås som et resultat af en polynom ligning. Det modsatte af et transcendent tal er et algebraisk tal, der er opløsninger af en polynomisk ligning af typen:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Hvor koefficienterne a _n, a _n-1,….. a ₂, a ₁, a ₀ er rationelle tal, kaldet polynomiets koefficienter. Hvis et tal x er en løsning på den forrige ligning, er dette tal ikke transcendent.

Figur 1. To numre af stor betydning i videnskaben er transcendente tal. Kilde: publicdomainpictures.net.

Vi vil analysere et par tal og se, om de er transcendente eller ikke:

a) 3 er ikke transcendent, fordi det er en løsning af x - 3 = 0.

b) -2 kan ikke være transcendent, fordi det er en løsning af x + 2 = 0.

c) ⅓ er en opløsning af 3x - 1 = 0

d) En opløsning af ligningen x ² - 2x + 1 = 0 er √2 -1, så antallet pr. definition ikke er transcendent.

e) Hverken er √2, fordi det er resultatet af ligningen x ² - 2 = 0. Kvadratning √2 giver resultatet 2, der trækkes fra 2 er lig med nul. Så √2 er et irrationelt tal, men det er ikke transcendent.

Hvad er transcendent tal?

Problemet er, at der ikke er nogen generel regel for at få dem (vi siger en vej senere), men nogle af de mest berømte er antallet pi og Neper-tallet, der er betegnet henholdsvis med: π og e.

Antallet π

Tallet π vises naturligt ved at observere, at den matematiske kvotient mellem omkredsen P af en cirkel og dens diameter D, uanset om det er en lille eller stor cirkel, altid giver det samme tal, kaldet pi:

π = P / D ≈ 3.14159 ……

Dette betyder, at hvis omkredsdiameteren tages som måleenheden, for alle dem, store eller små, vil omkredsen altid være P = 3,14… = π, som det kan ses i animationen i figur 2.

Figur 2. Længden af ​​omkredsen af ​​en cirkel er pi gange længden af ​​diameteren, hvor pi er ca. 3.1416.

For at bestemme flere decimaler er det nødvendigt at måle P og D med større præcision og derefter beregne kvotienten, som er blevet gjort matematisk. Konklusionen er, at kvotientens decimaler ikke har nogen ende og aldrig gentager sig selv, så antallet π ud over at være transcendent er også irrationelt.

Et irrationelt tal er et tal, der ikke kan udtrykkes som opdelingen af ​​to heltal.

Det vides, at ethvert transcendent tal er irrationelt, men det er ikke rigtigt, at alle irrationelle tal er transcendente. For eksempel er √2 irrationelt, men det er ikke transcendent.

Figur 3. De transcendente tal er irrationelle, men det omvendte er ikke sandt.

Nummeret e

Det transcendente tal e er basen for naturlige logaritmer, og dens decimalimension er:

og ≈ 2.718281828459045235360….

Hvis du ville skrive tallet e nøjagtigt, ville det være nødvendigt at skrive uendelige decimaler, fordi hvert transcendent tal er irrationelt, som sagt før.

De første ti cifre af e er let at huske:

2,7 1828 1828, og selv om det ser ud til at følge et gentagne mønster, opnås dette ikke i decimaler af orden større end ni.

En mere formel definition af e er som følger:

Dette betyder, at den nøjagtige værdi af e opnås ved at udføre operationen, der er angivet i denne formel, når det naturlige tal n har en tendens til uendelig.

Dette forklarer, hvorfor vi kun kan få tilnærmelser af e, da uanset hvor stort antallet n er placeret, kan der altid findes et større n.

Lad os kigge efter nogle tilnærmelser på egen hånd:

-Når 100 = (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481, som næppe falder sammen i den første decimal med den "sande" værdi af e.

-Hvis du vælger n = 10.000, har du (1 + 1 / 10.000) ^10.000 = 2.71815, der falder sammen med den "nøjagtige" værdi af e i de første tre decimaler.

Denne proces skulle følges uendeligt for at opnå den "sande" værdi af e. Jeg tror ikke, vi har tid til at gøre det, men lad os prøve en mere:

Lad os bruge n = 100.000:

(1 + 1 / 100.000) ^100.000 = 2,7182682372

Dette har kun fire decimaler, der svarer til den nøjagtige værdi.

Den vigtige ting er at forstå, at jo højere værdien af ​​n, der er valgt til at beregne e _n, desto tættere vil den være den sande værdi. Men den sande værdi vil kun have, når n er uendelig.

Figur 4. Det vises grafisk, hvordan jo højere værdien af ​​n er, jo nærmere e, men for at nå den nøjagtige værdi skal n være uendelig.

Andre vigtige tal

Bortset fra disse berømte tal er der andre transcendente tal, for eksempel:

- 2 ^√2

-Champernowne-nummeret i base 10:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

-Champernowne-nummeret i base 2:

C_2 = 0.1101110010110111….

-Gammanummeret γ eller Euler-Mascheroni konstant:

y ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Hvilket opnås ved at udføre følgende beregning:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

For når n er meget meget stor. For at have den nøjagtige værdi af Gamma-nummeret, ville det være nødvendigt at foretage beregningen med n uendelighed. Noget svarer til det, vi gjorde ovenfor.

Og der er mange flere transcendente tal. Den store matematiker Georg Cantor, født i Rusland og boede mellem 1845 og 1918, viste, at sættet af transcendente tal er meget større end det algebraiske sæt.

Formler, hvor det transcendente tal π vises

Omkretsens omkreds

P = π D = 2 π R, hvor P er omkredsen, D diameteren og R radius for omkredsen. Det skal huskes, at:

-Diameteren af ​​omkredsen er det længste segment, der forbinder to punkter af det samme, og som altid passerer gennem dets centrum,

-Radius er halvdelen af ​​diameteren og er det segment, der går fra centrum til kanten.

Område med en cirkel

A = π R ² = ¼ π D ²

Overflade på en kugle

S = 4 π R2 .

Ja, selvom det måske ikke ser ud som det, er overfladen på en sfære den samme som på fire cirkler med samme radius som sfæren.

Kuglevolumen

V = 4/3 π R ³

Øvelser

- Øvelse 1

"EXÓTICA" -pizzeriaet sælger pizzaer med tre diametre: små 30 cm, mellem 37 cm og store 45 cm. En dreng er meget sulten, og han indså, at to små pizzaer koster det samme som en stor. Hvad vil være bedre for ham at købe to små pizzaer eller en stor en?

Figur 5.- Området med en pizza er proportionalt med kvadratet på radius, idet pi er proportionalitetskonstanten. Kilde: Pixabay.

Løsning

Jo større område, desto større mængde pizza, af denne grund beregnes arealet af en stor pizza og sammenlignes med arealet af to små pizzaer:

Areal af den store pizza = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590.44 cm ²

Område med den lille pizza = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706,86 cm ²

Derfor vil to små pizzaer have et område på

2 x 706,86 = 1413,72 cm ².

Det er klart: Du vil have en større mængde pizza, der køber en enkelt stor en end to små.

- Øvelse 2

"EXÓTICA" -pizzeriaet sælger også en halvkugleformet pizza med en radius på 30 cm til samme pris som en rektangulær en målende 30 x 40 cm på hver side. Hvilken ville du vælge?

Figur 6.- Overfladen på en halvkugle er det dobbelte af basens cirkulære overflade. Kilde: F. Zapata.

Løsning

Som nævnt i det foregående afsnit er overfladen af ​​en kugle fire gange den for en cirkel med samme diameter, så en halvkugle med en diameter på 30 cm har:

30 cm halvkugleformet pizza: 1413,72 cm ² (to gange en cirkulær med samme diameter)

Rektangulær pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ².

Den halvkugleformede pizza har et større område.

Referencer

1. Fernández J. Nummeret e. Oprindelse og nysgerrighed. Gendannes fra: soymatematicas.com
2. Nyd matematik. Eulers nummer. Gendannes fra: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matematik 1.. Diversified. CO-BO-udgaver.
4. García, M. Nummeret e i elementær beregning. Gendannes fra: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. PI-nummer. Gendannet fra: wikipedia.com
6. Wikipedia. Transcendent tal. Gendannet fra: wikipedia.com