HYPERBOLISK PARABOLOID: DEFINITION, EGENSKABER OG EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

En hyperbolisk paraboloid er en overflade, hvis generelle ligning i kartesiske koordinater (x, y, z) tilfredsstiller følgende ligning:

(x / a) ² - (å / b) ² - z = 0.

Navnet "paraboloid" kommer fra det faktum, at variablen z afhænger af kvadraterne for variablerne x og y. Mens adjektivet "hyperbolisk" skyldes det faktum, at vi ved faste værdier for z har ligningen af ​​en hyperbola. Formen på denne overflade svarer til en hestesadel.

Figur 1. Hyperbolisk paraboloid z = x ² - y ². Kilde: F. Zapata ved hjælp af Wolfram Mathematica.

Beskrivelse af den hyperboliske paraboloid

Følgende analyse foretages for at forstå arten af ​​den hyperboliske paraboloid:

1.- Vi vil tage det særlige tilfælde a = 1, b = 1, det vil sige, at den kartesiske ligning af paraboloiden rester som z = x ² - y ².

2.- Plan betragtes som parallel med ZX-planet, det vil sige y = ctte.

3.- Med y = ctte forbliver det z = x ² - C, som repræsenterer paraboler med grenene opad og toppunktet under XY-planet.

Figur 2. Kurvefamilie z = x ² - C. Kilde: F. Zapata ved hjælp af Geogebra.

4.- Med x = ctte forbliver det z = C - y ², der repræsenterer paraboler med grenene nede og toppunktet over XY-planet.

Figur 3. Kurvefamilie z = C - y ². Kilde: F. Zapata gennem Geogebra.

5.- Med z = ctte forbliver det C = x ² - y ², der repræsenterer hyperbolas i plan parallelt med XY-planet. Når C = 0 er der to linjer (ved + 45º og -45º i forhold til X-aksen), der krydser hinanden ved XY-planet.

Figur 4. Kurvefamilie x ² - y ² = C. Kilde: F. Zapata ved hjælp af Geogebra..

Egenskaber ved den hyperboliske paraboloid

1.- Fire forskellige punkter i tredimensionelt rum definerer et og kun et hyperbolisk paraboloid.

2.- Den hyperboliske paraboloid er en dobbelt styret overflade. Dette betyder, at til trods for at være en buet overflade, passerer to forskellige linjer gennem hvert punkt i en hyperbolisk paraboloid, der fuldstændigt hører til den hyperboliske paraboloid. Den anden overflade, der ikke er et plan og styres dobbelt, er revolutionens hyperboloid.

Det er netop den anden egenskab ved den hyperboliske paraboloid, der har gjort det muligt at anvende det bredt i arkitektur, da overfladen kan genereres fra bjælker eller lige strenge.

Den anden egenskab ved den hyperboliske paraboloid tillader en alternativ definition af det: det er overfladen, der kan genereres af en bevægelig lige linje parallelt med et fast plan og skærer to faste linjer, der tjener som en guide. Følgende figur tydeliggør denne alternative definition af den hyperboliske paraboloid:

Figur 5. Den hyperboliske paraboloid er en dobbelt styret overflade. Kilde: F. Zapata.

Arbejdede eksempler

- Eksempel 1

Vis at ligningen: z = xy, svarer til en hyperbolisk paraboloid.

Løsning

En transformation vil blive anvendt til x- og y-variablerne svarende til en rotation af de kartesiske akser med hensyn til Z-aksen på + 45º. De gamle x- og y-koordinater transformeres til de nye x 'og y' i henhold til følgende forhold:

x = x '- y'

y = x '+ y'

mens z-koordinaten forbliver den samme, det vil sige z = z '.

Ved at substituere i ligningen z = xy har vi:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Ved at anvende det bemærkelsesværdige produkt af forskellen med summen lig med forskellen på firkanter, har vi:

z '= x' ² - y ' ²

hvilket klart svarer til den oprindeligt givne definition af hyperbolisk paraboloid.

Opfangningen af ​​planerne parallelt med XY-aksen med den hyperboliske paraboloid z = xy bestemmer ligesidede hyperboler, der har asymptoterne planene x = 0 og y = 0.

- Eksempel 2

Bestem parametrene a og b for den hyperboliske paraboloid, der passerer gennem punkterne A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) og D (2, -1, 32/9).

Løsning

I henhold til dens egenskaber bestemmer fire punkter i tredimensionelt rum en enkelt hyperbolisk paraboloid. Den generelle ligning er:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Vi erstatter de givne værdier:

For punkt A har vi 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ², en ligning, der er opfyldt uanset værdierne af parametrene a og b er.

Ved at erstatte punkt B opnår vi:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Mens det for punkt C forbliver:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Endelig opnår vi for punkt D:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Hvilket er identisk med den forrige ligning. I sidste ende skal ligningssystemet løses:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

At trække den anden ligning fra den første giver:

27/9 = 3 / a ^2, hvilket indebærer, at a ² = 1.

På en lignende måde trækkes den anden ligning fra firedoblingen af ​​den første, idet man opnår:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Hvilket er forenklet som:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Kort sagt, den hyperboliske paraboloid, der passerer gennem de givne punkter A, B, C og D, har en kartesisk ligning givet af:

z = x ² - (4/9) y ²

- Eksempel 3

I henhold til egenskaberne ved den hyperboliske paraboloid, passerer to linier gennem hvert punkt, der er fuldstændigt indeholdt i det. For tilfældet z = x ^ 2 - y ^ 2 finder ligningen af ​​de to linjer, der passerer gennem punktet P (0, 1, -1), der klart hører til den hyperboliske paraboloid, således at alle punkterne på disse linjer også hører til samme.

Løsning

Ved hjælp af det bemærkelsesværdige produkt af forskellen på firkanter kan ligningen for den hyperboliske paraboloid skrives sådan:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Hvor c er en ikke-nøjagtig konstant.

Ligningen x + y = cz, og ligningen x - y = 1 / c svarer til to plan med normale vektorer n = <1,1, -c> og m = <1, -1,0>. Vektoren produkt mxn = <- c, -c, -2> giver os retning af skæringslinien af de to planer. Så har en af ​​linjerne, der passerer gennem punktet P og hører til den hyperboliske paraboloid, en parametrisk ligning:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

For at bestemme c erstatter vi punktet P i ligningen x + y = cz ved at opnå:

c = -1

På en lignende måde, men i betragtning af ligningerne (x - y = kz) og (x + y = 1 / k) har vi den parametriske ligning af linjen:

= <0, 1, -1> + s med k = 1.

Sammenfattende de to linjer:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> og = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

De er fuldstændigt indeholdt i den hyperboliske paraboloid z = x ² - y ^{2, der} passerer gennem punktet (0, 1, -1).

Antag, at t = 1 som giver os punktet (1,2, -3) på den første linje. Du skal kontrollere, om det også er på paraboloidet z = x ² - y ²:

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Hvilket bekræfter, at det faktisk hører til overfladen af ​​den hyperboliske paraboloid.

Den hyperboliske paraboloid i arkitektur

Figur 6. Oceanografisk af Valencia (Spanien) Kilde: Wikimedia Commons.

Den hyperboliske paraboloid er blevet brugt i arkitektur af de store avantgarde-arkitekter, hvor navnene på den spanske arkitekt Antoni Gaudí (1852-1926) og meget især den også spanske Félix Candela (1910-1997) skiller sig ud.

Nedenfor er nogle værker baseret på den hyperboliske paraboloid:

-Kapel for byen Cuernavaca (Mexico) arbejde af arkitekten Félix Candela.

- Oceanografien i Valencia (Spanien), også af Félix Candela.

Referencer

1. Encyclopedia of matematik. Reguleret overflade. Gendannet fra: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Hyperbolisk paraboloid. Gendannes fra: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Paraboloid." Fra MathWorld - En Wolfram webressource. Gendannes fra: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloiden. Gendannet fra: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloiden. Gendannet fra: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Reguleret overflade. Gendannet fra: en.wikipedia.com