PARALLELEPIPED: EGENSKABER, TYPER, AREAL, VOLUMEN - MATEMATIK - 2025

En parallelepiped er et geometrisk legeme, der består af seks ansigter, hvis hovedkarakteristik er, at alle dens flader er parallelogrammer, og at dets modsatte flader er parallelle med hinanden. Det er en almindelig polyhedron i vores daglige liv, da vi kan finde det i skobokse, formen af ​​en mursten, formen på en mikrobølgeovn osv.

Da det er en polyhedron, omslutter parallelepipet et begrænset volumen, og alle dens flader er flade. Det er en del af gruppen af ​​prismer, som er de polyhedraer, hvor alle dets hjørner er indeholdt i to parallelle planer.

Elementer af Parallelepiped

Ansigter

De er hver af regionerne dannet af parallelogrammer, der begrænser parallelepiped. En parallelepiped har seks ansigter, hvor hver flade har fire tilstødende flader og en modsat. Hvert ansigt er også parallelt med det modsatte.

kanter

De er den fælles side af to ansigter. I alt har en parallelepiped tolv kanter.

Vertex

Det er det fælles punkt på tre ansigter, der støder op til hinanden to for to. En parallelepiped har otte hjørner.

Diagonal

Givet to ansigter af en parallelepiped overfor hinanden, kan vi tegne et linjesegment, der går fra toppunktet på den ene side til den modsatte toppunkt fra den anden.

Dette segment er kendt som diagonalen af ​​parallelepiped. Hver parallelepiped har fire diagonaler.

Centrum

Det er det punkt, hvor alle diagonaler krydser hinanden.

Egenskaber ved Parallelepiped

Som vi allerede har nævnt, har dette geometriske legeme tolv kanter, seks flader og otte vertikater.

I en parallelepiped kan der identificeres tre sæt dannet af fire kanter, som er parallelle med hinanden. Endvidere har kanterne af nævnte sæt også egenskaben med at have den samme længde.

En anden egenskab, som parallelepipeds har, er, at de er konvekse, det vil sige, hvis vi tager et par punkter, der hører til det indre af parallelepiped, vil segmentet bestemt af nævnte parpar også være inden for parallelepiped.

Derudover er parallelepipeds, der er konveks polyhedra, i overensstemmelse med Eulers sætning for polyhedra, hvilket giver os et forhold mellem antallet af ansigter, antallet af kanter og antallet af hjørner. Dette forhold er givet i form af følgende ligning:

C + V = A + 2

Denne egenskab er kendt som Euler-karakteristikken.

Hvor C er antallet af ansigter, V antallet af hjørner og A antallet af kanter.

typer

Vi kan klassificere parallelepipeds baseret på deres ansigter i følgende typer:

Orthohedron

De er parallelpipierne, hvor deres ansigter er dannet af seks rektangler. Hvert rektangel er vinkelret på dem, der deler en kant. De er de mest almindelige i vores daglige liv, dette er den sædvanlige form for skobokse og mursten.

Regelmæssig terning eller hexahedron

Dette er et bestemt tilfælde af det foregående, hvor hver af ansigterne er en firkant.

Terningen er også en del af de geometriske legemer, der kaldes platoniske faste stoffer. Et platonisk fast stof er en konveks polyhedron, så både dets flader og dets indvendige vinkler er ens.

rhombohedron

Det er en parallelepiped med rhombuses for sit ansigt. Disse rhombusser er alle lig med hinanden, da de deler kanter.

rhombohedron

Dets seks ansigter er rhomboider. Husk, at en rhomboid er en polygon med fire sider og fire vinkler, der er lige to til to. Rhomboids er parallelogrammer, der hverken er firkanter eller rektangler eller rhombuses.

På den anden side er skrå parallellevægge dem, hvor mindst en højde ikke stemmer overens med deres kant. I denne klassificering kan vi inkludere rhombohedra og rhombohedra.

Diagonaler beregning

For at beregne diagonalen i en orthohedron vi kan bruge Pythagoras sætning for R ³.

Husk, at en ortohedron har den egenskab, at hver side er vinkelret på de sider, der deler en kant. Fra dette faktum kan vi udlede, at hver kant er vinkelret på dem, der deler et toppunkt.

For at beregne længden af ​​en diagonal af en orthohedron fortsætter vi som følger:

1. Vi beregner diagonalen på et af ansigterne, som vi vil sætte som en base. Til dette bruger vi Pythagorean sætning. Lad os navngive denne diagonal d _b.

2. Så med d _b vi kan danne en ny retvinklet trekant, således at hypotenusen af nævnte trekant er den diagonale D vi er på udkig efter.

3. Vi bruger Pythagorean-sætningen igen, og vi har, at længden af ​​denne diagonal er:

En anden måde at beregne diagonaler på en mere grafisk måde er med tilføjelsen af ​​frie vektorer.

Husk, at to frie vektorer A og B tilføjes ved at anbringe halen af ​​vektor B med spidsen af ​​vektor A.

Vektoren (A + B) er den, der begynder ved A-halen og slutter ved spidsen af ​​B.

Lad os overveje en parallelepiped, som vi ønsker at beregne en diagonal for.

Vi identificerer kanterne med bekvemt orienterede vektorer.

Derefter tilføjer vi disse vektorer, og den resulterende vektor vil være diagonalen af ​​parallelepiped.

Areal

Området med en parallelepiped er angivet af summen af ​​hvert af områdets sider.

Hvis vi bestemmer en af ​​siderne som basen, A _L + 2A _B = Samlet areal

Hvor A _L er lig med summen af ​​arealerne på alle sider, der støder op til basen, kaldet det laterale område og A _B er basens område.

Afhængig af typen af ​​parallelepiped, vi arbejder med, kan vi omskrive denne formel.

Område med en ortohedron

Det er givet ved formlen

A = 2 (ab + bc + ca).

Eksempel 1

Givet følgende orthohedron med siderne a = 6 cm, b = 8 cm og c = 10 cm, beregne arealet af parallelepiped og længden af ​​dets diagonal.

Ved hjælp af formlen til området af en ortohedron har vi det

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ².

Bemærk, at da det er en orthohedron, er længden af ​​nogen af ​​dens fire diagonaler den samme.

Ved hjælp af Pythagorean teorem til plads har vi det

D = (6 ² + 8 ² + 10 ²) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Område med en terning

Da hver kant har samme længde, har vi, at a = b og a = c. I stedet for den tidligere formel, vi har

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ²) = 6a ²

A = 6a ²

Eksempel 2

En konsolkasse er formet som en terning. Hvis vi ønsker at pakke denne kasse med gaveindpakning, hvor meget papir ville vi bruge, når vi ved, at længden på kanterne på terningen er 45 cm?

Ved hjælp af formlen til området af terningen får vi det

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ²) = 12150 cm ²

Område med en rhombohedron

Da alle deres ansigter er ens, skal du bare beregne arealet for en af ​​dem og multiplicere det med seks.

Vi har, at arealet af en rhombus kan beregnes gennem dens diagonaler med følgende formel

A _R = (Dd) / 2

Ved hjælp af denne formel følger det, at det totale areal af rhombohedronen er

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Eksempel 3

Ansigterne på følgende rhombohedron er dannet af en rhombus, hvis diagonaler er D = 7 cm og d = 4 cm. Dit område vil være

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm ².

Område med en rhombohedron

For at beregne arealet af en rhombohedron skal vi beregne arealet af de rhomboids, der sammensætter det. Da parallelepipeds opfylder den egenskab, at modsatte sider har det samme område, kan vi knytte siderne i tre par.

På denne måde har vi, at dit område vil være

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Hvor b _jeg er baserne forbundet med siderne og h _i deres relative højde svarende til disse baser.

Eksempel 4

Overvej følgende parallelepiped,

hvor side A og side A '(den modsatte side) har en base b = 10 og en højde h = 6. Det markerede område har en værdi af

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B og B 'har b = 4 og h = 6, så

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC og C 'har således b = 10 og h = 5

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Endelig er området for rhombohedron

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volumen af ​​en parallelepiped

Den formel, der giver os volumen for en parallelepiped, er produktet af området for en af ​​dets flader med den højde, der svarer til det ansigt.

V = A _C h _C

Afhængig af typen af ​​parallelepiped kan denne formel forenkles.

Vi har således for eksempel, at volumenet af en orthohedron ville blive givet af

V = abc.

Hvor a, b og c repræsenterer længden på kanterne på ortohedronen.

Og i det særlige tilfælde af terningen er

V = a ³

Eksempel 1

Der er tre forskellige modeller til cookie-kasser, og du vil vide, i hvilke af disse modeller du kan gemme flere cookies, det vil sige, hvilken af ​​kasserne der har den største lydstyrke.

Den første er en terning, hvis kant har en længde på = 10 cm

Dets volumen vil være V = 1000 cm ³

Den anden har kanter b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Og derfor er dens volumen V = 765 cm ³

Og den tredje har e = 9 cm, f = 9 cm og g = 13 cm

Og dens volumen er V = 1053 cm ³

Derfor er kassen med den største lydstyrke den tredje.

En anden metode til at opnå volumen af ​​en parallelepiped er at bruge vektoralgebra. Især tredobbeltproduktet.

En af de geometriske fortolkninger, som det tredobbelte skalareprodukt har, er volumen på parallelepiped, hvis kanter er tre vektorer, der deler det samme toppunkt som et udgangspunkt.

På denne måde, hvis vi har en parallelepiped, og vi ønsker at vide, hvad dens volumen er, er det nok at repræsentere det i et koordinatsystem i R3 ^{ved at} få en af ​​dens hjørner sammen med oprindelsen.

Derefter repræsenterer vi kanterne, der falder sammen med oprindelsen med vektorer, som vist på figuren.

Og på denne måde har vi, at volumenet af den nævnte parallelepiped er givet af

V = - AxB ∙ C-

Eller på en ækvivalent måde er volumen bestemmelsen af ​​3 × 3-matrixen, dannet af komponenterne i kantvektorerne.

Eksempel 2

Når det repræsenterer følgende parallelepipedum i R ³ kan vi se, at vektorerne, der bestemmer det er følgende

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) og w = (-0,25, -4, 4)

Ved hjælp af det tredobbelte skalareprodukt, vi har

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Herfra konkluderer vi, at V = 60

Lad os nu overveje følgende parallelepiped i R3, hvis kanter bestemmes af vektorerne

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) og C = (3, 4, 4)

Brug af determinanter giver os det

Vi har således, at volumenet af den nævnte parallelepiped er 112.

Begge er ækvivalente måder at beregne volumen på.

Perfekt parallelepiped

En orthohedron er kendt som en Euler-mursten (eller Eulers blok), der opfylder egenskaben, at både længden på dens kanter og længden af ​​diagonalerne på hver af dens flader er hele tal.

Selvom Euler ikke var den første videnskabsmand, der studerede ortohedraen, der opfylder denne egenskab, fandt han interessante resultater om dem.

Den mindste Euler-mursten blev opdaget af Paul Halcke, og længderne på dens kanter er a = 44, b = 117 og c = 240.

Et åbent problem i taleteori er som følger

Er der perfekte ortohedra?

På nuværende tidspunkt er dette spørgsmål ikke besvaret, da det ikke har været muligt at bevise, at sådanne organer ikke findes, men ingen af ​​dem er fundet.

Hvad der er vist indtil videre er, at der findes perfekte parallelepipeds. Den første, der opdages, har længden af ​​dens kanter værdierne 103, 106 og 271.

Bibliografi

1. Guy, R. (1981). Uopløste problemer i taleteori. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometri. Fremskridt.
3. Leithold, L. (1992). Beregningen med analytisk geometri. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Teknisk tegning: Aktivitetsbog 3 2. Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fysik Vol. 1. Mexico: Kontinentalt.