SEKSKANTET PYRAMIDE: DEFINITION, KARAKTERISTIKA OG EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

En sekskantet pyramide er en polyhedron dannet af en hexagon, som er basen, og seks trekanter, der starter fra hexagonens hjørner og mødes på et punkt uden for planet, der indeholder basen. Dette samtidspunkt kaldes pyramidens toppunkt eller spids.

En polyhedron er et lukket tredimensionelt geometrisk legeme, hvis ansigter er plane figurer. En hexagon er en lukket planfigur (polygon) bestående af seks sider. Hvis alle seks sider er af samme længde og danner lige vinkler, siges det at være regelmæssige; ellers er det uregelmæssigt.

Definition

En sekskantet pyramide indeholder syv flader, basen og de seks laterale trekanter, hvoraf basen er den eneste, der ikke berører toppunktet.

Det siges, at pyramiden er lige, hvis alle laterale trekanter er ensartede. I dette tilfælde er højden på pyramiden det segment, der går fra toppunktet til midten af ​​hexagon.

Generelt er højden på en pyramide afstanden mellem toppunktet og planet for basen. Det siges, at pyramiden er skråtstillet, hvis ikke alle laterale trekanter er ensartede.

Hvis sekskanten er regelmæssig, og pyramiden også er lige, siges det at være en almindelig sekskantet pyramide. Tilsvarende, hvis hexagon er uregelmæssig eller pyramiden er skråt, siges det at være en uregelmæssig hexagonal pyramide.

egenskaber

Konkave eller konveks

En polygon er konveks, hvis målet for alle indvendige vinkler er mindre end 180 grader. Geometrisk svarer dette til at sige, at når et par punkter findes i polygonen, er linjesegmentet, der forbinder dem, indeholdt i polygonen. Ellers siges polygonen at være konkav.

Hvis hexagon er konveks, siges pyramiden at være en konveks hexagonal pyramide. Ellers siges det at være en konkav sekskantet pyramide.

kanter

Kanterne på en pyramide er siderne af de seks trekanter, der udgør den.

Apothem

Pyramidens apotem er afstanden mellem toppunktet og siderne af pyramidens basis. Denne definition giver kun mening, når pyramiden er regelmæssig, for hvis den er uregelmæssig, varierer denne afstand afhængigt af den tænkte trekant.

På den anden side vil apotemet i almindelige pyramider svare til højden af ​​hver trekant (da hver af dem er ensben) og det vil være det samme i alle trekanter.

Basens apotem er afstanden mellem en af ​​siderne af basen og midten af ​​den. Fra den måde, den er defineret, giver basens apotem også mening kun i almindelige pyramider.

angivelserne

Højden på en sekskantet pyramide betegnes med h, basens apotem (i det normale tilfælde) af APb og apotemet til pyramiden (også i det normale tilfælde) af AP.

Et kendetegn ved almindelige hexagonale pyramider er, at h, APb og AP danner en højre trekant med hypotenuse AP og ben h og APb. Ved den Pythagoreiske teorem har vi denne AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

Billedet ovenfor repræsenterer en almindelig pyramide.

Hvordan beregnes området? formler

Overvej en almindelig sekskantet pyramide. Lad A være målet for hver side af sekskanten. Derefter svarer A til målet for basen i hver trekant i pyramiden og derfor med kanterne på basen.

Arealet af en polygon er produktet af omkredsen (summen af ​​siderne) og basens apotem, divideret med to. I tilfælde af en sekskant ville det være 3 * A * APb.

Det kan ses, at arealet af en almindelig sekskantet pyramide er lig med seks gange arealet af hver trekant i pyramiden plus basisområdet. Som tidligere nævnt svarer højden af ​​hver trekant til pyramidens apotem.

Derfor er arealet af hver trekant i pyramiden angivet med A * AP / 2. Således er arealet af en almindelig sekskantet pyramide 3 * A * (APb + AP), hvor A er en kant af basen, APb er basens apotem og AP pyrotems apotem.

Beregning i uregelmæssige hexagonale pyramider

I tilfælde af en uregelmæssig sekskantet pyramide er der ingen direkte formel til beregning af arealet som i det foregående tilfælde. Dette skyldes, at hver trekant i pyramiden vil have et andet område.

I dette tilfælde skal arealet af hver trekant beregnes separat og basens areal. Derefter er pyramideområdet summen af ​​alle de tidligere beregnede områder.

Hvordan beregnes lydstyrken? formler

Volumenet af en pyramide med regelmæssig sekskantet form er produktet af pyramidehøjden og basens areal divideret med tre. Således er volumenet af en almindelig sekskantet pyramide givet af A * APb * h, hvor A er en kant af basen, APb er basens apotem, og h er højden på pyramiden.

Beregning i uregelmæssige hexagonale pyramider

Analogt med området er der i tilfælde af en uregelmæssig sekskantet pyramide ingen direkte formel til beregning af volumen, da kanterne på basen ikke har den samme måling, fordi det er en uregelmæssig polygon.

I dette tilfælde skal basens areal beregnes separat, og lydstyrken vil være (h * Basens område) / 3.

Eksempel

Find arealet og volumenet af en almindelig sekskantet pyramide med en højde på 3 cm, hvis basis er en almindelig hexagon på 2 cm på hver side, og bundens afsnit er 4 cm.

Løsning

Først skal pyramidens (AP) apotem beregnes, hvilket er de eneste manglende data. Når man ser på billedet ovenfor, kan det ses, at pyramidens højde (3 cm) og bundenes abotem (4 cm) danner en højre trekant; Derfor bruges Pythagorean-sætningen til at beregne pyramidens apotem:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Ved anvendelse af formlen skrevet ovenfor følger det således, at området er lig med 3 * 2 * (4 + 5) = 54 cm ^ 2.

På den anden side ved anvendelse af volumenformlen opnås det, at volumen for den givne pyramide er 2 * 4 * 3 = 24 cm ^ 3.

Referencer

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). Matematik: en problemløsningsmetode for lærere i grundskoleuddannelse. López Mateos Editors.
2. Fregoso, RS, & Carrera, SA (2005). Matematik 3. Redaktionel Progreso.
3. Gallardo, G., & Pilar, PM (2005). Matematik 6. Redaktionel Progreso.
4. Gutiérrez, CT, & Cisneros, MP (2005). 3. matematik kursus. Redaktionel Progreso.
5. Kinsey, L., & Moore, TE (2006). Symmetri, form og rum: En introduktion til matematik gennem geometri (illustreret, genoptrykt red.). Springer Science & Business Media.
6. Mitchell, C. (1999). Blændende matelinjedesign (Illustreret red.). Scholastic Inc.
7. R., MP (2005). Jeg trækker 6. plads. Redaktionel Progreso.