MULTIPLIKATIONSPRINCIP: TÆLLINGSTEKNIKKER OG EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

Den multiplikative princip er en teknik, der anvendes til at løse tælle problemer at finde løsningen uden at skulle angive sine elementer. Det er også kendt som det grundlæggende princip for kombinatorisk analyse; det er baseret på successiv multiplikation for at bestemme, hvordan en begivenhed kan forekomme.

Dette princip siger, at hvis en beslutning (d ₁) kan træffes på n måder og en anden beslutning (d ₂) kan træffes på m måder, vil det samlede antal måder, hvorpå beslutninger d ₁ og d ₂ kan træffes, være ens at formere sig fra n _* m. I henhold til princippet træffes hver beslutning den ene efter den anden: antal måder = N _{1 *} N ₂… _* N _x måder.

eksempler

Eksempel 1

Paula planlægger at gå i biografen med sine venner, og for at vælge det tøj, hun vil bære, adskiller jeg 3 bluser og 2 nederdele. Hvor mange måder kan Paula klæde sig?

Løsning

I dette tilfælde skal Paula træffe to beslutninger:

d ₁ = Vælg mellem 3 bluser = n

d ₂ = Vælg mellem 2 nederdele = m

På den måde har Paula n _* m beslutninger om at tage eller forskellige måder at klæde sig på.

n _* m = 3 _* 2 = 6 beslutninger.

Multiplikationsprincippet er født ud fra trædiagrammets teknik, som er et diagram, der relaterer alle mulige resultater, så hver enkelt kan forekomme et begrænset antal gange.

Eksempel 2

Mario var meget tørstig, så han gik til bageriet for at købe juice. Luis tager sig af ham og fortæller ham, at den findes i to størrelser: store og små; og fire varianter: æble, orange, citron og drue. Hvor mange måder kan Mario vælge saften?

Løsning

I diagrammet kan det ses, at Mario har 8 forskellige måder at vælge saften på, og at dette resultat som i multiplikationsprincippet opnås ved at multiplicere n _* m. Den eneste forskel er, at du gennem dette diagram kan se, hvordan de måder, hvorpå Mario vælger saften, ligner.

På den anden side, når antallet af mulige resultater er meget stort, er det mere praktisk at anvende multiplikationsprincippet.

Tælle teknikker

Tællingsteknikker er metoder, der bruges til at foretage en direkte optælling, og kender således antallet af mulige arrangementer, som elementerne i et givet sæt kan have. Disse teknikker er baseret på flere principper:

Tilsætningsprincip

Dette princip siger, at hvis to begivenheder m og n ikke kan forekomme på samme tid, vil antallet af måder, hvorpå den første eller anden begivenhed kan forekomme, være summen af ​​m + n:

Antal figurer = m + n… + x forskellige former.

Eksempel

Antonio vil tage en tur, men beslutter ikke, hvilken destination; på det sydlige turistbureau tilbyder de dig en forfremmelse til at rejse til New York eller Las Vegas, mens det østlige turistbureau anbefaler at rejse til Frankrig, Italien eller Spanien. Hvor mange forskellige rejsealternativer tilbyder Antonio dig?

Løsning

Hos det sydlige turistbureau har Antonio 2 alternativer (New York eller Las Vegas), mens han med det østlige turistbureau har 3 muligheder (Frankrig, Italien eller Spanien). Antallet af forskellige alternativer er:

Antal alternativer = m + n = 2 + 3 = 5 alternativer.

Permutationsprincippet

Det handler om specifikt at bestille alle eller nogle af de elementer, der udgør et sæt, for at gøre det lettere at tælle alle mulige arrangementer, der kan træffes med elementerne.

Antallet af permutationer af n forskellige elementer, taget på én gang, er repræsenteret som:

_n P _n = n!

Eksempel

Fire venner vil tage et billede og vil vide, hvor mange forskellige måder de kan arrangeres på.

Løsning

Du vil vide sættet af alle de mulige måder, hvorpå de 4 personer kan placeres for at tage billedet. Således skal du:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 forskellige former.

Hvis antallet af permutationer af n tilgængelige elementer tages af dele af et sæt, der består af r-elementer, repræsenteres det som:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Eksempel

I et klasseværelse er der 10 pladser. Hvis 4 studerende deltager i klassen, på hvor mange forskellige måder kan eleverne besætte stillingerne?

Løsning

Vi har, at det samlede antal stolsæt er 10, og af disse kun vil blive brugt 4. Den givne formel anvendes til at bestemme antallet af permutationer:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 måder at udfylde positionerne.

Der er tilfælde, hvor nogle af de tilgængelige elementer i et sæt gentages (de er ens). For at beregne antallet af arrays, der tager alle elementerne på samme tid, bruges følgende formel:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Eksempel

Hvor mange forskellige fire bogstavsord kan dannes fra ordet "ulv"?

Løsning

I dette tilfælde er der 4 elementer (bogstaver), hvoraf to af dem er nøjagtig de samme. Ved anvendelse af den givne formel vides det, hvor mange forskellige ord der resulterer:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 forskellige ord.

Kombinationsprincip

Det handler om at arrangere alle eller nogle af de elementer, der udgør et sæt uden en bestemt rækkefølge. For eksempel, hvis du har et XYZ-arrangement, vil det være identisk med ZXY, YZX, ZYX arrangementerne, blandt andre; dette skyldes, at selv om de ikke er i samme rækkefølge, er elementerne i hvert arrangement de samme.

Når nogle elementer (r) er taget fra sættet (n), gives princippet om kombination ved hjælp af følgende formel:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Eksempel

I en butik sælger de 5 forskellige typer chokolade. Hvor mange forskellige måder kan der vælges 4 chokolader?

Løsning

I dette tilfælde skal der vælges 4 chokolader blandt de 5 typer, de sælger i butikken. Den rækkefølge, de vælges i, betyder ikke noget, og derudover kan en type chokolade vælges mere end to gange. Anvendelse af formlen skal du:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 forskellige måder at vælge 4 chokolader på.

Når alle elementer (r) i sættet (n) tages, gives kombinationsprincippet med følgende formel:

_n C _{n =} n!

Løst øvelser

Øvelse 1

Der er et baseballhold med 14 medlemmer. På hvor mange måder kan der tildeles 5 positioner til et spil?

Løsning

Sættet består af 14 elementer, og du vil tildele 5 specifikke positioner; det vil sige orden. Permutationsformlen anvendes, hvor n tilgængelige elementer tages af dele af et sæt, der er dannet af r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Hvor n = 14 og r = 5. Det er substitueret med formlen:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 måder at tildele de 9 spilpositioner.

Øvelse 2

Hvis en familie på 9 rejser og køber deres billetter med sammenhængende pladser, hvor mange forskellige måder kan de så sætte sig ned?

Løsning

Det drejer sig om 9 elementer, der vil besætte 9 sæder efter hinanden.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 forskellige måder at sidde på.

Referencer

1. Hopkins, B. (2009). Ressourcer til undervisning i diskret matematik: Klasseprojekter, historiemoduler og artikler.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskret matematik. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Endelig og diskret matematikproblemløsning. Forskning & Uddannelsesforbund Redaktører
4. Padró, FC (2001). Diskret matematik. Politèc. af Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Matematik til anvendt videnskab. Reverte.